Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 33 Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales
Se observa que para el factor (x – 1) esto ocurre dos veces, y que hay términos tanto con (x – 1) como con (x – 1) 2 en
el denominador. Ahora se eliminan los denominadores multiplicando ambos miembros por (x + 1)(x – 1) 2 :
3x + 5 = A(x – 1) 2 + B(x + 1) + C(x + 1) (1)
Sea x = 1. Entonces, 8 = (0)A + (2)(0)B + (2)C = 2C. Luego, C = 4.
Sea x = –1. Entonces, 2 = (4)A + (0)(–2)B + (0)C = 4A. Por tanto, A = 1 2.
Para hallar B se comparan los coeficientes de x 2 a ambos lados de (1). A la izquierda es 0 y a la derecha es A + B.
Por tanto, A + B = 0. Como A = 1 2, B =− 1 2 . Entonces,
Por tanto,
Por la fórmula abreviada I,
Entonces,
∫
3x
+ 5 1 1 1 1
1 2 1 2 1 4 1
x − x − x+ = x+ − x− + ( x − 2)
3 2 2
( 3x+
5)
dx
1 1
3 2
ln | 1| ln | 1|
4
1 2 x
x x x
2 x
dx
− − + = + − − + ∫ ( x − 1)
2
dx
( x 1)
2
( x ) 2 1
1 dx( x1)
1
x 1
( 3x+
5)
dx
1 1
ln | 1| ln | 1|
1
∫ 3 2
x x x 1 2 x 2 x
− − + = + − − − 4
x − 1 + C
=
ln | x + |
| x−
1|
1
2
1
−
4
+ C
x − 1
EJEMPLO 33.8. Resuelva
( x
1)
dx
x ( x
2) .
3 2
Se representa el integrando
( x + 1)
x ( x−
2)
3 2
de la forma siguiente:
( x + 1)
=
A
+
B
+
C
+
D
+
E
x ( x–
2) x x x x – 2 ( x – 2)
3 2 2 3 2
Los denominadores se eliminan multiplicando por x 3 (x – 2) 2 :
x + 1 = Ax 2 (x – 2) 2 + Bx(x – 2) 2 + C(x – 2) 2 + Dx 3 (x – 2) + Ex 3
Sea x = 0. Entonces, 1 = 4C. Así, C = 1 4 .
Sea x = 2. Por tanto, 3 = 8E. Luego, E = 8 3 .
Se comparan los coeficientes de x. Entonces, 1 = 4B – 4C. Como C = 1 4 , B = 1 2 .
Se comparan los coeficientes de x 2 . Entonces, 0 = 4A – 4B + 4C. Como B = 1 2 y C = 1 4 , A = 1 4 .
Se comparan los coeficientes de x 4 . Entonces, 0 = A + D. Como A = 1 4 , D =− 1 4.
Así,
( x + 1)
=
1 1
+
1 1
+
1 1
−
1 1
x ( x−
2) 4 x 2 x 4 x x − + 3 1
4 2 8 ( x )
3 2 2 3
−2 2
e
( x+
1)
dx
x ( x−
2)
=
1
ln | x| −
1 1
−
1 1
−
1
ln | x −
4 2 x 8 x 4
3 2 2
2
|−
3
8
1
x − 2
+ C
=
1
ln
x
4 x − 2
−
4x
+ 1 −
3 1
8 8 − 2
+
2
C
x x