Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 41 Coordenadas polares
36. Determine la curvatura de cada una de estas curvas en P(r, q): a) r = e q ; b) r = sen q; c) r 2 = 4 cos 2q; d) r =
3 sen q + 4 cos q.
Respuesta: a) 1/( 2e ), b) 2; c) 3 2 cos2 ; d) 2 5
37. Determine ds para la curva r = a cos q.
d
Respuesta: a
38. Encuentre ds para la curva r = a(1 + cos q).
d
Respuesta: a 2+ 2cosθ
39. Supóngase que una partícula se mueve a lo largo de una curva r = f(q) con su posición en cualquier instante t
dada por r = g(t), q = h(t).
2
a) Multiplique la ecuación
ds 2 2
( '
)
d obtenida en el problema 20 por d
dt 2 para que resulte
2
2 2
v 2 2
=
ds
( ) = d d
ρ
θ ρ
( ) +
dt dt ( dt )
b) A partir de tan
d
d / dt
d d , obtenga sen d
y cos 1 d
/ dt
v dt v dt .
En los problemas 40 a 43, determine todos los puntos de intersección de las ecuaciones indicadas.
40. r = 3 cos q, r = 3 sen q Respuesta: (0, 0), ( 3 ,
2 2 π
4 )
41. r = cos q, r = 1 – cos q Respuesta: (0, 0),
1
,
, 1
2 3 ,
2 3
42. r = q, r = p Respuesta: (p, p), (–p, –p)
( )
43. r = sen 2q, r = cos 2q Respuesta: (0, 0), 2 2 1
, ( n + ) π
2 6
para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5
44. (CG) Trace las curvas de los problemas 40 a 43, determine sus gráficas en una graficadora y compruebe las
respuestas a los problemas 40 a 43.
45. (CG) Trace las gráficas de las ecuaciones siguientes y luego compruebe las respuestas con una graficadora:
a) r = 2 cos 4q b) r = 2 sen 5q c) r 2 = 4 sen 2q
d) r = 2(1 – cos q) e)
2
1 cos
g) r = 2 – sec q h) 2
[En los incisos g) y h) busque las asíntotas.]
f)
2 1
46. Cambie las siguientes ecuaciones rectangulares en ecuaciones polares y trace las gráficas:
a) x 2 – 4x + y 2 = 0 b) 4x = y 2 c) xy = 1
d) x = a e) y = b f) y = mx + b