Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Convergencia uniforme
Sea f n una sucesión de funciones, todas definidas en un conjunto A. Sea f la función definida en A. Entonces,
f n converge uniformemente a f en A si para todo > 0 existe un entero m positivo tal que para cada x en A y
todo n m, |f n (x) – f(x)| < .
0
n
Teorema 46.3. Si una serie de potencias an( x
c)
converge para x 0 c y d < |x 0 – c|, entonces la sucesión de
n
n
sumas parciales S k (x), donde an( x
n
c)
, converge uniformemente a a x c
n
0
n
n( ) en el intervalo que consta
0
de todos los x tal que |x – c| < d. Por tanto, la convergencia es uniforme en cualquier intervalo estrictamente dentro del
intervalo de convergencia.
Se remite al lector a libros más avanzados para hallar una demostración de este resultado.
CAPÍTULO 46 Serie de potencias
Teorema 46.4. Si f n converge uniformemente a f en un conjunto A y cada f n es continuo en A, entonces f es
continuo en A.
En el problema 6 se ofrece una demostración.
0
Corolario 46.5. La función definida por una serie de potencias an( x
c)
n
dentro de su intervalo de convergencia.
Esto se deduce de los teoremas 46.3 y 46.4.
n
es continua en todos los puntos
Teorema 46.6. Integración de series de potencias.
n
0
n
a ( x
c)
n
Sea f la función definida por una serie de potencias
en su intervalo de convergencia (con radio de convergencia R 1 ). Entonces:
a) f x dx a x c n
( )
( ) n
n 1
n0
1
K
para |x – c| < R 1 (46.3)
donde el intervalo de convergencia de la serie de potencias en el miembro derecho de la fórmula (46.3) es el
mismo que el de la serie original. K es una constante de integración arbitraria. Nótese que la antiderivada de
f se obtiene por integración término a término de una serie de potencias dada.
b) Si a y b están en el intervalo de convergencia, entonces:
b
b
a
( )
f x dx a x
( )
c
n
n
1
n0 Así,
f( x) dx se obtiene por integración término a término.
a
n1
b
a
(46.4)
Una demostración del teorema 46.6 debe consultarse en un libro más avanzado.
Teorema 46.7. Derivación de serie de potencias. Sea f la función definida por una serie de potencias
n
0
n
n
a ( x
c)
en su intervalo de convergencia (con radio de convergencia R 1 ). Entonces, f es derivable en ese intervalo y
n
f ( x) na ( x c) 1
n0
n
para |x – c| < R 1 (46.5)
Por consiguiente, la derivada f se obtiene mediante derivación término a término de la serie de potencias. El intervalo
de convergencia de la serie de potencias del miembro derecho de la fórmula (46.5) será el mismo que para la serie de
potencias original.
Para una demostración, el lector debe remitirse a textos más avanzados.