Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas
Construya un sistema de coordenadas tal que el eje x pase por F y F', el origen sea el punto medio del
segmento FF' y F quede en el eje positivo x. Entonces, las coordenadas de F y F' son (c, 0) y (–c, 0) (fig.
2 2 2 2
5.11). Luego, la condición PF + PF ′ = 2 a equivale a ( x − c) + y + ( x + c) + y = 2a.
y
P(x, y)
B(0, b)
A'
(–a, 0) F' (–c, 0)
O
F(c, 0)
A(a, 0)
B'
(0, –b)
Fig. 5.11
Después de reorganizar y elevar al cuadrado dos veces (para eliminar las raíces cuadradas) y realizar las
operaciones indicadas se obtiene
(a 2 – c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 – c 2 ) (5.1)
Puesto que a > c, a 2 2
– c > 0. Sea b= a −c
2
. Entonces (5.1) se transforma en b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 , lo que
puede reescribirse como x 2
2 + y 2
2 = 1, es decir, la ecuación de una elipse.
a b
Cuando y = 0, x 2 = a 2 ; entonces la elipse corta el eje x en los puntos A'(–a, 0) y A(a, 0), llamados los
vértices de la elipse (figura 5.11). El segmento A'A se denomina eje mayor; el segmento OA se llama eje
semimayor y tiene una longitud de a. El origen es el centro de la elipse. F y F' son los focos (cada uno es
un foco). Cuando x = 0, y 2 = b 2 . En consecuencia, la elipse corta el eje y en los puntos B'(0, –b) y B(0, b).
El segmento B'B se conoce como eje menor; el segmento OB recibe el nombre de eje semimenor y tiene
2 2 2
una longitud de b. Observe que b= a − c < a = a. Por ende, el eje semimenor es más pequeño que el
semimayor. La relación básica entre a, b y c es a 2 = b 2 + c 2 .
La excentricidad de una elipse se define como e = c/a. Advierta que 0 < e < 1. Además,
2 2 2
e= a − b / a= 1 −( b/
a) . Así, cuando e es muy pequeña b/a está muy cerca de 1, el eje menor se aproxima
en tamaño al eje mayor y la elipse está cerca de ser un círculo. Por otra parte, cuando e está próximo a 1, b/a
se aproxima a cero, el eje menor es muy pequeño en comparación con el mayor, la elipse resulta muy “plana”.
8. Identifique la gráfica de la ecuación 9x 2 + 16y 2 = 144.
La ecuación equivale a x 2 /16 + y 2 /9 = 1. Así, la gráfica es una elipse con eje semimayor de longitud a = 4
y eje semimenor de longitud b = 3 (fig. 5.12 en la página siguiente). Los vértices son (–4, 0) y (4, 0). Como
2 2
c= a − b = 16 − 9 = 7,, la excentricidad e es c/ a
7 / 4 0. 6614.
9. Identifique la gráfica de la ecuación 25x 2 + 4y 2 = 100.
La ecuación equivale a x 2 /4 + y 2 /25 = 1, una elipse. Como el denominador de y 2 es mayor que el
denominador de x 2 , la gráfica es una elipse con el eje mayor sobre el eje y y el eje menor sobre el eje x (fig.
2 2
5.13 en la página siguiente). Los vértices quedan en (0, –5) y (0, 5). Luego, como c= a − b = 21, la
excentricidad es 21/ 5 0. 9165.
10. Sean F y F' puntos distintos, a una distancia de 2c uno del otro. Halle el conjunto de todos los puntos P(x, y)
tales que PF PF a 2 , para todo a < c.