Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 57 Integrales triples
z
O
x
y
Fig. 57.8
4
Entonces, x = M / V = 3
. Por simetría, y = 0. Además
yz
M = zdV= 2 zrdzdrdθ
= r 5 drdθ
xy
∫∫∫
R
π / 2
=
32
∫ cos θdθ
=
3 0
∫
π / 2
0
∫
2cosθ
0
6 5
3
y
10
z = M / V = 9
. Así, el centroide tiene coordenadas ( , 0 , ).
xy
π
∫
r2
0
4
3
10
9
∫
π / 2 2cosθ
9. Para el cono circular recto de radio a y altura h, determine a) el centroide; b) el momento de inercia respecto
a sus ejes; c) el momento de inercia respecto a cualquier recta que pase por su vértice y sea perpendicular a su
eje; d) el momento de inercia respecto a cualquier recta que pase por su centroide y sea perpendicular a su eje,
y e) el momento de inercia respecto a cualquier diámetro de su base.
Tome el cono como en la figura 57.9, de manera que su ecuación es r = a
h z.
Entonces:
a h
a
V = 4 π / 2
r dz dr d hr
h
∫ ∫
= 4 π / 2
∫
θ
−
a r drd
hr a ∫ ∫
2 θ
0 0 /
0 0
0
∫
0
( )
π / 2
2
2
=
2
ha θ
1
π
3 ∫ d = ha
unidades cúbicas
0 3
z
(0, 0, h)
d
(0, 0, ¾h)
c
O
(0, r, 0) y
(r, 0, 0)
x
Fig. 57.9