Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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En = /4,
t=− 1
i+
1
j, dt
=
2
i+ 2
j, | K|
=
dt
=
2
2 2 ds 3a 3a
ds 3a y n =
1 dt
=
1
i+
| K|
ds 2
13. Demuestre que el vector a = ai + bj es perpendicular a la recta ax + by + c = 0.
Sean P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) dos puntos distintos sobre la recta. Entonces, ax 1 + by 1 + c = 0 y ax 2 + by 2 + c =
0. Al restar la primera y la segunda se obtiene
Ahora
a(x 2 – x 1 ) + b(y 2 – y 1 ) = 0 (1)
a(x 2 – x 1 ) + b(y 2 – y 1 ) = (ai + bj) [(x 2 – x 1 )i + (y 2 – y 1 )j]
1
2
j
CAPÍTULO 39 Vectores en un plano
= a P 1 P 2
Por (1), el lado izquierdo es cero. Entonces, a es perpendicular (normal) a la recta.
14. Use métodos vectoriales para hallar:
a) La ecuación de la recta que pasa por P 1 (2, 3) y es perpendicular a la recta x + 2y + 5 = 0.
b) La ecuación de la recta que pasa por P 1 (2, 3) y P 2 (5, –1).
Tome P(x, y) como otro punto en la recta requerida.
a) Por el problema 13, el vector a = i + 2j es normal a la recta x + 2y + 5 = 0. Entonces P 1 P = (x – 2)i +
(y – 3)j es paralela a a si (x – 2)i + (y – 3)j = k(i + 2j) para algún k escalar. Al igualar los componentes
se obtiene x – 2 = k y y – 3 = 2k. Si se elimina k, se tiene la ecuación requerida y – 3 = 2(x – 2), o el
equivalente, 2x – y – 1 = 0.
b) Se tiene P 1 P = (x – 2)i + (y – 3)j y P 1 P 2 = 3i – 4j. Ahora a = 4i + 3j es perpendicular a P 1 P 2 y, por tanto, a
P 1 P Entonces, 0 = a P 1 P = (4i + 3j) [(x – 2)i + (y – 3)j] y, de forma equivalente, 4x + 3y – 17 = 0.
15. Emplee métodos vectoriales para hallar la distancia del punto P 1 (2, 3) desde la recta 3x + 4y – 12 = 0.
En un punto conveniente sobre la recta, como A(4, 0), se construye el vector a = 3i + 4j perpendicular a la
recta. La distancia requerida es d = |AP 1 | cos en la figura 39.14. Ahora a AP 1 = |a| |AP 1 | cos = |a|d. Por
tanto,
a
d = ⋅ AP1 ( 3i+ 4j) ⋅( − 2i+
3j)
=
= − 6 + 12
=
6
| a|
5
5 5
y
3x 4y 12 0
d
P 1 (2, 3)
O
A(4, 0)
a
x
Fig. 39.14
16. El trabajo realizado por una fuerza expresada como vector b al mover un objeto a lo largo del vector a se
define como el producto de magnitud b en la dirección de a y la distancia que se desplazó el objeto. Halle el
trabajo realizado al mover un objeto a lo largo del vector a = 3i + 4j si la fuerza aplicada es b = 2i + j.
El trabajo realizado es
(magnitud de b en la dirección de a) (distancia movida) = (|b|cos ) |a| = b a = (2i + j) (3i + 4j) = 10