Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
4. Aproxime el área de un rectángulo de dimensiones 35.02 por 24.97 unidades.
Para las dimensiones x por y, el área A = xy, de modo que dA = ∂ A
x dx + ∂ A
dy = ydx + x dy. Con
∂ ∂y x = 35, dx = 0.02, y = 25 y dy = –0.03 se tiene A = 35(25) = 875 y dA = 25(0.02) + 35(–0.03) = –0.55. El área
es aproximadamente A + dA = 874.45 unidades cuadradas. El área real es 874.4494.
5. Calcule la variación en la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 6 y 8 pulgadas cuando el cateto
más corto se alarga 1 4 pulgadas y el más largo se encoge 8 1 pulgadas.
Sean x, y y z los catetos menor, mayor y la hipotenusa del triángulo, respectivamente. Entonces,
z = 2
x + 2
y
z x z y
,
∂
dz
z
∂ x
= ,
∂
x + y ∂ y
= , = ∂
x + y ∂x dx + ∂ z
2 2 2 2
y dy xdx + ydy
=
∂ x
2 + y
2
Cuando x = 6, y = 8, dx = 1 4 y dy =−8 1 1 1
6( + 8 −
, entonces dz = 4 ) ( 8 )
=
1
2 2
6 + 8 20
alarga aproximadamente 20 1 pulgadas.
pulgadas. Por tanto, la hipotenusa se
6. La potencia consumida en una resistencia eléctrica se calcula con P = watts. Si E = 200 voltios y R = 8
ohmios, ¿cuánto cambia la potencia si E disminuye en 5 voltios y R en 0.2 ohmios?
Se tiene que
Cuando E = 200, R = 8, dE = –5 y dR = –0.2, entonces
La potencia disminuye aproximadamente 125 watts.
E 2
R
2
P E P E
dP
E R R R
E
R dE
2
2
,
2 E
R dR
2
,
2
2
2( 200) ( 5 )
200 ( 0 . 2 ) 250 125 125
8 8
dP = − −( ) − =− + =−
7. Las dimensiones de un bloque rectangular de madera son 10, 12 y 20 pulgadas, con un posible error de 0.05 en
cada una de las medidas. Determine, aproximadamente, el máximo error en el área de superficie del bloque y
el porcentaje de error en el área producido por esos errores en las medidas individuales.
El área de superficie es S = 2(xy + yz + zx); entonces,
dS = ∂ S
x dx + ∂ S
y dy + ∂ S
dz = 2( y + z) dx + 2( x + z) dy + 2( y+
x)
dz
∂ ∂ ∂z El máximo error en S ocurre cuando los errores en las longitudes de los lados son del mismo signo; por
ejemplo, positivos. Así,
dS = 2(12 + 20)(0.05) + 2(10 + 20)(0.05) + 2(12 + 10)(0.05) = 8.4 pulgadas 2
El porcentaje de error es (error/área)(100) = (8.4/1120)(100) = 0.75%.
8. En la fórmula R = E/C, determine el máximo error y el porcentaje de error si C = 20 con un posible error de
0.1 y E = 120 con un posible error de 0.05.
Aquí,
dR = ∂ R
E dE + ∂ R
C dC =
1
C dE −
E
∂ ∂
C dC 2
El error máximo ocurrirá cuando dE = 0.05 y dC = –0.1; entonces, dR =
005 .
−
120
( − 0. 1) = 0. 0325 es
20 400
aproximadamente el error máximo. El porcentaje de error es dR R ( 100 ) =
0.
0325
( 100) = 0. 40625 = 0. 41%
.
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