Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Antiderivadas
Si F(x) = f (x), entonces F se denomina una antiderivada de f.
EJEMPLO 22.1. x 3 es una antiderivada de 3x 2 , pues D x (x 3 ) = 3x 2 . Pero x 3 + 5 también es una antiderivada de 3x 2
ya que D x (5) = 0.
(I) En general, si F (x) es una antiderivada de f (x), entonces F (x) + C también es una antiderivada de f (x), donde
C es cualquier constante.
(II) De igual forma, si F (x) es una antiderivada de f (x) y si G(x) es cualquier otra antiderivada de f (x), entonces
G(x) = F (x) + C, para alguna constante C.
La propiedad (II) se desprende del problema 13 del capítulo 18, ya que F(x) = f (x) = G(x).
De las propiedades (I) y (II) se observa que, si F (x) es una antiderivada de f (x), entonces las antiderivadas de f (x)
son precisamente tales funciones de la forma F (x) + C, para una constante arbitraria C.
Notación.
f( x)
dx denotará cualquier antiderivada de f (x). En esta notación, f (x) se denomina el integrando.
Terminología. Una antiderivada f( x)
dx también se denomina una integral indefinida.
Más adelante se proporcionará una explicación de la notación peculiar f( x)
dx (incluida la presencia de la diferencial
dx).
1 2
EJEMPLO 22.2. a) xdx= 2 x + C; b) sen xdx cos xC.
Leyes de las antiderivadas
∫
Ley 1. ∫ 0 dx = C.
Ley 2. ∫ 1dx = x + C.
Ley 3. ∫ adx= ax+
C.
r+
1
r
x
Ley 4. ∫ x dx = + C para cualquier número racional r –1.
r + 1
(4) sigue del hecho que D x r+
1
⎛ ⎞ r
x
x
⎝
⎜ r + ⎠
⎟ = para r –1.
1
Ley 5. af ( x) dx a
f ( x)
dx.
x
x .
Se observa que D a fxdx ( ) aD fxdx ( ) afx ( )
Ley 6. ( f( x) g( x)) dx f( x) dx g( x)
dx
.
Se observa que D f ( x) dx g( x) dx D f ( x) dx D g( x)
dx
f x
x x x
Ley 7. ( f( x) g( x)) dx f( x) dx g( x)
dx
.
Se observa que
D f ( x) dx g( x) dx D f ( x) dx D g( x)
dx
x x x
( ) g( x).
f x
( ) g( x).
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