Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 22 Antiderivadas
EJEMPLO 22.3.
43 /
3 13 /
a) xdx x dx
x
3 43 /
∫ = ∫ = + C = 4 x + C
4/3
por la ley (4).
1
b)
1
2
1
2
x dx = x−
dx −
x
∫ ∫ = + C =− +C por la ley (4).
− 1 x
c) 7 3 7 3
4
7 4
xdx xdx 7
x
C 4 4 x C por las leyes (5) y (4).
2 2 3
d) ( x 4)
dx x dx 4dx 1
x 4x C
por las leyes (6), (4) y (2).
3
e)
7 1 2 3 7 2
( 3x 4x) dx 3x dx 4x dx 3 x dx 4 x dx 3(
x ) 4( 2 x ) C 7 x 2x C.
6 6 6 1 7
EJEMPLO 22.4.
Las leyes (3) a (7) permiten calcular la antiderivada de todo polinomio. Por ejemplo,
Ley 8. Fórmula abreviada I
( 6 x8 2 x5 7 x4 3) dx 6( 1 x9 ) 2 ( 1 x6 ) 7(
1 x5
) 3xC
3 9 3 6 5
2 9 1 6 7 5
x 9 x 5 x 3xC
3
r
1
r1 ( gx ( )) g( x) dx ( gx ( )) Cpara todo número racional r –1.
r 1
Para la comprobación, D
⎛ 1
r+ 1
gx
⎞ 1
r 1
1
x
D g x
r + 1
r 1
x
⎝
⎠ = +
r
r
( ( )) [( ( )) ] = (r+ 1)( g( x)) g′ ( x) = ( g( x)) g′
( x) por la
+
r + 1
regla de la cadena para potencias.
1 3 5 2 1 1 3 6
EJEMPLO 22.5. ∫ ( x 3 + 7) x dx = 6 ( x 3 + 7)
+ C .
1 3
Para comprobarlo, sea g( x) = ( 3 x + 7 ) y r = 5 en la fórmula abreviada I.
2 2/ 3 2 2/
3 2
EJEMPLO 22.6. ( x 1) x dx
1
( x 1) 2x dx
1 1
53 /
∫ + = + = ( x
2
2 ( ) + 1) 3 2 53 /
∫ + C = ( x + 1)
+
5/3
10
C.
En este caso, se tuvo que insertar un factor de 2 en el integrando para poder utilizar la fórmula abreviada I.
Ley 9. Método de sustitución
f( g( x)) g( x) dx
f( u)
du
donde u se sustituye por g(x) después de evaluar el lado derecho. La “sustitución” se realiza en el lado izquierdo
con u = g(x) y du = g(x)dx. (Para ver una justificación, repase el problema 21.)
EJEMPLO 22.7
a) Halle xsen( x 2 ) dx.
Sea u = x 2 . Entonces du = 2x dx. Luego, x dx = 1 2 du. Por sustitución
x sen (x 2 1 1
1
)dx sen u ( )du (cosu) C cos(x 2 ) C
b) Halle sen( x/2)
dx.
x
Sea u = . Entonces
2
du = 1 2 dx. Por tanto, dx = 2 du. Por sustitución,
∫
2
sen
x dx = ∫(sen u ) 2 d u=
2 sen u du 2( cos u ) C 2
2
∫
2
( ) = − + =− cos( x ) + C
Nótese que la fórmula abreviada I es un caso especial del método de sustitución, con u = g(x). La ventaja de
la fórmula abreviada I es que evita el tedio de realizar la sustitución.
2
2