Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Sean a 1 i y a 2 j las componentes vectoriales de a. * Los escalares a 1 y a 2 se denominarán componentes escalares
(o componentes x y componentes y o, simplemente, componentes) de a. Nótese que 0 = 0i + 0j.
La dirección de a está dada por el ángulo , con 0 < 2, medido en sentido contrario al de las manecillas
del reloj desde el eje x positivo hasta el vector. Entonces,
2 2
| a | = a1
+ a
(39.2)
2
y
tan a a 2 (39.3)
1
con el cuadrante de determinado por
a 1 = |a| cos , a 2 = |a| sen
CAPÍTULO 39 Vectores en un plano
Si a = a 1 i + a 2 j y b = b 1 i + b 2 j, entonces se cumple lo siguiente:
Propiedad (39.4) a = b si y sólo si a 1 = b 1 y a 2 = b 2
Propiedad (39.5) ka = ka 1 i + ka 2 j
Propiedad (39.6) a + b = (a 1 + b 1 )i + (a 2 + b 2 )j
Propiedad (39.7) a – b = (a 1 – b 1 )i + (a 2 – b 2 )j
Producto escalar (o producto punto)
El producto escalar (o producto punto) de vectores a y b está definido por
a b = |a||b| cos (39.4)
donde es el ángulo más pequeño entre dos vectores cuando se trazan con un punto inicial común (fig. 39.4).
También se define: a 0 = 0 a = 0.
B
b
P
a
A
Fig. 39.4
A partir de las definiciones es posible demostrar las propiedades siguientes del producto escalar:
Propiedad (39.8) (ley conmutativa) a b = b a
Propiedad (39.9) a a = |a| 2 y a a a
Propiedad (39.10) a b = 0 si y sólo si (a = 0 o b = 0 o a es perpendicular a b)
Propiedad (39.11) i i = j j = 1 y i j = 0
Propiedad (39.12) a b = (a 1 i + a 2 j) (b 1 i + b 2 j) = a 1 b 1 + a 2 b 2
Propiedad (39.13) (ley distributiva) a (b + c) = a b + a c
Propiedad (39.14)
(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d
*
No es necesario indicar un par de direcciones (como OM y OT), ya que quedan determinadas por el sistema de coordenadas.