Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 14 Valores máximos y mínimos
Sea r el radio de la base y 2h la altura del cilindro. Según la geometría, V = 2r 2 h y r 2 + h 2 = R 2 . Entonces,
De la última relación dh
dr
r 2 = 2h 2 .
dV
dr
=−
r
, entonces, dV
h dr
( )
3
r
h
2
= 2π r dh + 2rh
y 2r
+ 2h dh = 0
dr
dr
2 2rh
. Cuando V es un máximo, dV = 0, del cual
dr
Así, R 2 = r 2 + h 2 = 2h 2 + h 2 , de manera que h= R/ 3 y la altura del cilindro es 2h= 2R/ 3. El criterio de
la segunda derivada puede utilizarse para verificar que se ha hallado un valor máximo de V.
22. La pared de un edificio se apuntalará mediante una viga apoyada sobre una pared paralela de 10 pies de altura,
situada a 8 pies del edificio. Halle la longitud L de la viga más corta que puede utilizarse.
Observe la figura 14.16. Sea x la distancia del pie de la viga al pie de la pared paralela, y sea y la distancia
(en pies) del piso a la parte superior de la viga. Entonces, L = ( x+ 8)
2 + y
2 .
Viga
y
10
x
8
Fig. 14.16
También, de triángulos semejantes, y =
x + 8 y, por tanto,
10( x + 8) y = . Por consiguiente,
10 x
x
2
2 100( x + 8)
L = ( x+ 8)
+
=
x + 8 2
2
x + 100
x x
dL
dx
2 12 / 2 −12 / 2 1/
2
x[(
x + 100) + xx ( + 8)( x + 100) ] − ( x+ 8)( x + 100)
3
=
2
=
x − 800
x
2 2
x x + 100
3
El número crítico relevante es x = 2 100. La longitud de la viga más corta es
3
2 100 + 8
3
2 100
4
3 3 32
10 000 + 100 = ( 100 + 4) / pies
El criterio de la primera derivada y el teorema 14.1 garantizan que en realidad se ha hallado la longitud más
corta.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
23. Analice cada uno de los valores máximos y mínimos relativos mediante el criterio de la primera derivada.
a) f (x) = x 2 + 2x – 3 Respuesta: x = –1 produce el mínimo relativo –4.
b) f (x) = 3 + 2x + x 2 Respuesta: x = 1 produce el máximo relativo 4.
c) f (x) = x 3 + 2x 2 – 4x – 8 Respuesta: x = 2 256
3
produce el mínimo relativo – ; x = –2
27
produce el máximo relativo 0.
d) f (x) = x 3 – 6x 2 + 9x – 8 Respuesta: x = 1 produce el máximo relativo –4; x = 3 produce el
mínimo relativo –8.
e) f (x) = (2 – x) 3 Respuesta: ni máximo ni mínimo relativos.