Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Vectores en el espacio
Igual que en el plano (véase el capítulo 39), un vector en el espacio es una cantidad que tiene magnitud y dirección.
Tres vectores a, b y c, que no estén en un mismo plano ni sean paralelos y que comiencen de un punto
común, forman un sistema de giro a la derecha (dextrógiro) o tríada si c tiene la dirección en la que avanza
un sacacorchos al girarlo por el ángulo más pequeño en la dirección de a hacia b, como se indica en la figura
50.1. Nótese que, visto desde un punto en c, la rotación sobre el ángulo más pequeño de a a b se verá en sentido
contrario al de las manecillas del reloj.
z
c
P(x, y, z)
r
k
i
O
j
y
a
b
A
y
B
Fig. 50.1
x
Fig. 50.2
Seleccionemos un sistema de coordenadas rectangular derecho (dextrógiro) en el espacio y sean i, j y k los
vectores unitarios a lo largo de los ejes positivos x, y y z, respectivamente, como en la figura 50.2. Los ejes de
coordenadas dividen el espacio en ocho partes denominadas octantes. Por ejemplo, el primer octante consta de
todos los puntos (x, y, z) para los que x > 0, y > 0 y z > 0.
Como en el capítulo 39, todo vector a puede expresarse como
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k
Si P(x, y, z) es un punto en el espacio (figura 50.2), el vector r que va desde el origen O hasta P se denomina
vector de posición de P y se puede escribir como
r = OP = OB + BP = OA + AB + BP = xi + yj + zk (50.1)
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