Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

17
Derivación de funciones
trigonométricas
Continuidad de cos x y sen x
Es claro que el cos x y el sen x son funciones continuas, es decir, que para todo ,
lím cos ( h) cos y lím sen ( θ+ h) = senθ
h0
Para comprobarlo, observe en la figura 17.1 que cuando h se aproxima a 0, el punto C tiende al punto B. Por
tanto, la coordenada x de C [que es cos ( + h)] tiende a la coordenada x de B (que es cos ), y la coordenada y
de C [que es sen ( + h)] tiende a la coordenada y de B (que es sen ).
h→0
1
C
(cos( h), sen( h))
(cos , sen )
h
B
1
Fig. 17.1
Para hallar la derivada de sen x y cos x se necesitan los límites siguientes:
(17.1) lím sen
1
0
(17.2) lím
1
cos
0
0
Para ver una demostración de (17.1), revise el problema 1. A partir de (17.1), (17.2) se deriva de la manera
siguiente:
2
1
cos
1 cos
1
cos
1
cos
1
cos
( 1
cos)
2
sen
sen
sen
.
( 1
cos )
1
cos
138
Por tanto,
lím
1
cos
lím sen
lím sen
1
0
0 0 01
cos
sen
1
0
1
cos0
11 10 0