Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 11 Derivación implícita
EJEMPLO 11.4. Halle el valor de y en el punto (–1, 1) de la curva x 2 y + 3y – 4 = 0.
Se deriva implícitamente respecto a x dos veces. Primero, x 2 y + 2xy + 3y = 0, y luego x 2 y + 2xy + 2xy
+ 2y + 3y = 0. Se podría despejar y en la primera ecuación y luego despejar y en la segunda ecuación. Sin
embargo, como sólo se desea evaluar y en el punto particular (–1, 1), se sustituye x = –1, y = 1 en la primera
1 1
ecuación para hallar y 2
, y luego se sustituye x = –1, y = 1 y y 2
en la segunda ecuación para llegar a y – 1
– 1 + 2 + 3y = 0, de lo que se obtiene y = 0. Este método evita cálculos algebraicos confusos.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle y, dado que x 2 y – xy 2 + x 2 + y 2 = 0.
D x (x 2 y) – D x (xy 2 ) + D x (x 2 ) + D x (y 2 ) = 0
x 2 y + yD x (x 2 ) – xD x (y 2 ) – y 2 D x (x) + 2x + 2yy = 0
x 2 y + 2xy – x(2yy) – y 2 + 2x + 2yy = 0
(x 2 – 2xy + 2y)y + 2xy – y 2 + 2x = 0
y
y
2 2xy
2x
2
x 2xy2y
2. Si x 2 – xy + y 2 = 3, encuentre y y y.
D x (x 2 ) – D x (xy) + D x (y 2 ) = 0
2x – xy – y + 2yy = 0
2x
y
Por tanto, y
x
2 y
. Entonces,
( x2y) Dx( 2x y) ( 2x y) Dx( x2y)
y
( x
2y)
2
( x 2y)( 2 y) ( 2x y)( 12y)
2
( x
2y)
2x xy 4y2yy 2x 4xy y 2yy
3xy 3y
2
2
( x
2y) ( x
2y)
2
3x
x
y
3y
x
2y
2 2
3x( 2x y) 3y( x2y)
6( x xy
y )
2
3
3
( x
2y)
( x
2y)
( x
2y)
18
( x
2y)
3
3. Dado x 3 y + xy 3 = 2, halle y y y en el punto (1, 1).
Mediante doble derivación implícita queda
x 3 y + 3x 2 y + x(3y 2 y) + y 3 = 0
y x 3 y + 3x 2 y + 3x 2 y + 6xy + 3xy 2 y + y[6xyy + 3y 2 ] + 3y 2 y = 0.
Al sustituir x = 1 y y = 1 en la primera ecuación se obtiene y = –1. Entonces, si se remplaza x = 1, y =
1 y y = –1 en la segunda ecuación se obtiene y = 0.