Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Como D x (e x ) = e x , f (n+1) (x) = e x para todo x. Por tanto, f (n+1) (x * ) = e x* . Entonces e x es una función creciente, e x* < e 1 = e
< 3 < e 1 = e < 3. Así, | R ( 1 )| <
31 . Como se desea hacer del error < 0.00005, basta tener
n ( n + )!
3
≤ 0. 00005,
es decir,
( n + 1)!
3
≤
1
, 60 000 ≤ ( n + 1)!.
( n + 1)!
20 000
Por ensayo y error se muestra que se cumple para n 8. Entonces, se puede utilizar la suma parcial
1
∑ 1 7183
n! ~ . .
n = 0
Teorema 47.3. La serie binomial.
Así,
r
( 1+ x)
= 1+
Supóngase que r 0. Entonces,
+∞
∑
n=
1
Se aplica el criterio de la razón a la serie dada:
sn
s
+ 1
n
rr ( −1)( r−2) ⋅⋅⋅( r− n+
1)
n
x para | x|
< 1
n!
rr ( − 1)
2 rr ( −1)( r−2)
3
= 1 + rx + x +
x +⋅⋅⋅
(47.3)
2!
3!
rr ( −1)( r−2) ⋅⋅⋅( r−nx
)
=
( n + 1)!
n+
1
sn
1
lím lím ( r n ) x
| x|
n
s n
n 1
n
rr ( − 1)(r −2) ⋅⋅⋅( r − n+
1)
x
n!
Por tanto, la serie converge para |x| < 1. Para ver un esbozo de la demostración de que la serie es igual a (1 + x) r
repase el problema 31.
Nótese que si r es un entero positivo k, entonces los coeficientes de x n para n > k son 0 y se obtiene la fórmula
binomial
n
8
CAPÍTULO 47 Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo
k
( 1 + x)
=
k
∑
n=
0
k!
n!( k − n)!
x
n
EJEMPLO 47.7. Redefina 1+ x como una serie de potencias en torno a 0. Esta es la serie binomial para r = 1 2.
1 1 12 12 −12
2 12 −12 −3
+ x = +
/ ( / )( / ) ( / )( / )( / 2)
x+
x +
x
1!
2!
3!
( 12 / )( −12 / )( −32 / )( −52
/ ) 4
+
x +⋅⋅⋅
4!
= 1+ 1 2 1 3 5 4
x− x + x − x +⋅⋅⋅ 2 8 16 128
(47.4)
3
EJEMPLO 47.8.
Encuentre una extensión de la serie de potencias en torno a 0 para
Se toma la serie binomial para r =− 1 2, y luego se remplaza x por –x:
1
1− x .
1
1
12 12 32 2 12
/ (
x
/ )( / ) (
x
/ )( 32 / )( 52
/ ) 3
( )
( )
( x)
1 x 1!
2!
3!
135 ( )
2n
1
n
x
n!
2
n
1
135 ( 2n
1)
n
x
(47.5)
246( 2n)
n1