Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

59
lím( )
d) lím
x 2
x
x
x
x 2
3
1
3 2 lím( x 2)
5
x3
2
e) lím
x 4
4 4
x
x
2
2 4 4 4 0
2
2
f) lím 25x lím ( 25 x ) 9 3
x4
x4
[Nota: de estos problemas no infiera que lím f ( x ) siempre sea f (a).]
xa 2
g) lím
x 25
lím ( x 5)
10
x5
x 5 x5
CAPÍTULO 7 Límites
2. Compruebe los cálculos siguientes sobre límites:
a) lím
x 4
lím
x 4
lím
1
2
1
x4
x x
12 x4 ( x3 )( x4
) x4
x 3 7
La división entre x – 4 antes de pasar al límite es válida porque x 4 cuando x 4; por tanto, x – 4 nunca
es cero.
3
x3 x 3
b) lím lím ( )( 2
x 27
x
9 ) 2
x
x
2
lím
x 3x9
9
3 9 x3
( x
3)(
x
3)
x 3 x 3 2
c) lím ( ) 2 2
x + h −x
2 2 2
2
= lím
x + 2hx + h − x
= lím
2hx
+ h
= lím ( 2x + h)
= 2x
h→0
h
h→0
h
h→0
h h→0
Aquí, y de nuevo en los problemas 4 y 5, h es una variable, de manera que puede pensarse que se está
tratando con funciones de dos variables. Sin embargo, el hecho de que x sea variable no tiene relevancia en
estos problemas; por el momento, x puede considerarse una constante.
2
d) lím
x
lím ( x )( x )
x
x 2 2
2 2
4
4 3 5
4 3 5
lím ( x
)( x ) 2
2 2 x2
2
2 2
lím ( 3 x 5)
6
3 5 ( 3 x 5)( 3
x 5)
x2
4 x
x2
e)
2
x1 x2
lím
x x2
lím ( )( ) l
x
( x )
2
2
ím
x 2
; no existe límite
2 1 x1
( x1)
x 1 x 1
3. En los siguientes problemas a) a c), puede interpretar lím como lím
x x
o lím
x
, sin importar cuál de los dos sea.
Compruebe los límites.
a)
3x
2
x
lím lím
x
x 3
2/
3
0
9 7 x
9
7x
9 0
1
/ 3
b)
2
x x
x x
lím lím
x x x 2
6 2 1 62/ 1/
6 0 0 6
2
2
5 3 4 x
5 3/ x
4/
x 5 00
5
c)
2
2 3
x x2
1/ x
1/
x 2/
x 0
lím
3
lím
0
x
4x
1 x
4
1/x 4
d)
3
2x
x
lím lím
x
x 2
2 2
1 x
1
1/
x
3
e) 2x
x
lím lím
x
x 2
2 2
1 x
1
1/
x
⎛ 7 2 5 ⎞
f) lím ( x
−7x
−2x+ 5) = lím x
⎜1− −
4
+
5 =+∞
x→+∞
x→+∞
⎝ x x x
⎟ ya que
⎠
lím 1
5
4 5 ( 1000)
1
x
x x x
y lím x
x
g)
7 2 5
lím ( x
7x
2x5) lím x
1
4
5
x
x
x x x
, ya que
lím 1 7 ( )
x x x 2 x
5 4 5
1 0 0 0 1 y lím 5
x
x
f
4. Dado f (x) = x 2 – 3x, halla lím ( xh ) fx ( )
h0
h
Como f (x) = x 2 – 3x, se tiene que f (x + h) = (x + h) 2 – 3(x + h) y
lím ( ) ( ) lím ( 2 2
f x h f x
) 2
+ − x + 2hx + h −3x −3 h −( x − 3x)
2
=
= lím
2hx + h −3h
h→0 h
h→0
h
h→0
h
= lím ( 2x
+ h − 3)
= 2x − 3
h→0