Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 39 Vectores en un plano
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
17. Dados los vectores a, b y c de la figura 39.15, construya: a) 2a; b) –3b; c) a + 2b; d) a + b – c; e) a – 2b + 3c.
18. Demuestre que la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela a la del tercer lado
y equivale a la mitad de su longitud (fig. 39.16).
19. Si a, b, c, d son lados consecutivos de un cuadrilátero (fig. 39.17), pruebe que a + b + c + d = 0 (Sugerencia:
sean P y Q dos vértices no consecutivos.) Exprese PQ de dos formas.
B
b
a
c
a
P
Fig. 39.15 Fig. 39.16
1
2 b
b
R
1
2
(a b)
Q
A
d
c
a
b
Fig. 39.17
20. Demuestre que si se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadrilátero cualquiera, el
cuadrilátero resultante es un paralelogramo (fig. 39.18).
C
R
B
c
1
2
c
P
1
2
1
2
a
(b c)
T
a
1
2
(a b)
A
Q
Fig. 39.18
21. Use la figura 39.19, donde |a| = |b| es el radio de un círculo y pruebe que el ángulo inscrito en un semicírculo
es un ángulo recto.
B
C
a b
–a P
b
Fig. 39.19
a
b a
A
22. Halle la longitud de cada uno de los vectores siguientes y el ángulo que forman con el eje x positivo: a) i + j;
b) –i + j; c) i+ 3 j; d) i− 3j
Respuestas: a) 2,
1 4
3
; b) 2,
4
; c) 2,
5
3
; d) 2,
3