Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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PROBLEMAS RESUELTOS
3 x2
1. Halle xe dx.
Sea u = x 2 x2
y dv = xe dx. Observe que v puede evaluarse mediante la sustitución w = x 2 . (Se obtiene
1 w 1 w 1 x
v= 2 e dw= 2 e = 2 e
2.)
∫
Por tanto,
2
2. Determine ∫ ln( x + 2)
dx.
Sea u = ln (x 2 + 2) y dv = dx
2
u = x
x2
dv = xe dx
du = 2x dx
1 x2
v = 2 e
3 x2 1 2 x2 x2
x e dx 2 x e xe dx
x2 x2
xe e C
1
2
2 1
2
1
2
e x2 ( x 2 1 ) C
u = ln( x + 2)
dv = dx
du =
2x
2
dx
x + 2
v = x
CAPÍTULO 31 Técnicas de integración I: integración por partes
Así,
∫
2 2
ln( x + 2) dx = xln( x + 2)
−2
∫
2
x
2
dx
x + 2
( )
2
= xln( x + 2)
−2 1
2
∫ −
2
dx
x + 2
2
2 2
4 −1⎛
⎞
= xln( x + ) − x + tan
x
2 ⎝
⎜
2⎠
⎟ + C
= x(ln( x + 2) − 2) + 2 2tan
2 −1
⎛
⎝
⎜
x ⎞
⎠
⎟ + C
2
3. Resuelva ln xdx.
Sea u = ln x y dv = dx
u = ln x dv = dx
du =
1
x dx v = x
Entonces,
ln x dx xln x 1 dx xln
x x C
x(ln x 1)
C
4. Resuelva x sen x dx.
Se tienen tres opciones: a) u = x sen x, dv = dx; b) u = sen x, dv = x dx; c) u = x, dv = sen x dx.
a) Sea u = x sen x, dv = dx. Entonces, du = (sen x + x cos x) dx, v = x, y
x sen x dx x x sen x
x(sen x x cos x) dx
Puesto que la integral resultante no es tan simple como la original, esta opción se descarta.