Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Integrales triples
Coordenadas cilíndricas y esféricas
Supóngase que un punto P tiene coordenadas (x, y, z) en un sistema de coordenadas rectangulares dextrógiro
(derecho). Las coordenadas cilíndricas correspondientes de P son (r, q, z), donde (r, q) son coordenadas polares
para el punto (x, y) en el plano xy. [Observe el cambio de notación de (r, q) a (r, q) para las coordenadas polares
de (x, y); fig. 57.1.] Por tanto, se tienen las relaciones
x = r cos q, y = r sen q, r 2 = x 2 + y 2 ,
y
tan
x
En coordenadas cilíndricas, una ecuación r = c representa un cilindro recto de radio c con el eje z como su eje
de simetría. Una ecuación q = c representa un plano que pasa por el eje z.
Un punto P con coordenadas rectangulares (x, y, z) tiene las coordenadas esféricas (r, q, f), donde r = |OP|,
q es el mismo que en las coordenadas cilíndricas y f es el ángulo dirigido desde el eje positivo hasta el vector
OP (fig. 57.2). En coordenadas esféricas, una ecuación r = c representa una esfera de radio c con centro en el
origen. Una ecuación f = c representa un cono con vértice en el origen y el eje z como su eje de simetría.
Las relaciones adicionales siguientes, deducidas fácilmente de la figura 57.2 y las ecuaciones anteriores, se
cumplen entre coordenadas esféricas, cilíndricas y rectangulares:
r = r sen f, r 2 = x 2 + y 2 + z 2
x = r sen f cos q, y = r sen f sen q, z = r cos f
z
z
P (r, , z)
P(, , )
x
O
r
z
y
x
O
r
z
y
x
y
x
y
Fig. 57.1 Fig. 57.2
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