Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 4 Círculos
y
P(3, 8)
Q(9, 6)
x
R(13, –2)
Fig. 4.2
La pendiente de la recta PQ es − 1 3. Luego, por el teorema 3.2 la pendiente de es 3. Asimismo, pasa
por el punto medio (6, 7) del segmento PQ. Luego, una ecuación punto–pendiente de es y − 7
x − 6
= 3 y, por
tanto, su ecuación punto–intersección es y = 3x – 11. De igual forma, la pendiente de la recta QR es –2 y,
por consiguiente, la pendiente de es 1 2. Puesto que pasa por el punto medio (11, 2) del segmento QR,
tiene una ecuación punto–pendiente de y − 2
=
1 1 7
x − 11 2 , lo que da la ecuación punto–intersección y = 2 x − 2
y se puede
escribir
3x− 11= 1
x−
7
2 2
de lo que se obtiene que x = 3. Por tanto,
y = 3x – 11 = 3(3) – 11 = –2
Luego, el centro se halla en (3, –2). El radio es la distancia entre el centro y el punto (3, 8):
2 2 2
( −2 − 8) + ( 3 − 3) = ( − 10)
= 100 = 10
Así, la ecuación estándar del círculo es (x – 3) 2 + (y + 2) 2 = 100.
4. Halle el centro y el radio del círculo que pasa por P(1, 1) y es tangente a la recta y = 2x – 3 en el punto Q(3, 3)
(fig. 4.3).
y
y 2x – 3x
C
Q(3, 3)
P(1, 1)
O
x
Fig. 4.3