Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

243
y
a
y f(x)
Fig. 30.7
EJEMPLO 30.3. Considere un sólido de revolución obtenido al girar en torno al eje x la región limitada por las
curvas y = 4x 2 , x = 0 y y = 16 (la misma región que en la figura 30.5). Aquí la curva superior es y = 16 y la inferior,
y = 4x 2 . Así, por la fórmula de washer,
V 2
x dx 2
2 2 2
4
16 ( 4 ) 256 16x dx
256x
16
2
x
0
0
512
512
2048
5 5
b
x
5 5 0
CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración II: volumen
Método de capas cilíndricas
Considérese el sólido de revolución obtenido al girar en torno al eje y la región en el primer cuadrante
entre el eje x y la curva y = f(x), y que yace entre x = a y x = b (fig. 30.7). Entonces, el volumen del sólido
está dado por
b
a
∫
b
a
∫
V = 2π
xf ( x) dx = 2π
xy dx (Fórmula de capas cilíndricas)
En el problema 10 se ofrece la justificación de esta fórmula.
Una fórmula similar se cumple cuando los papeles de x y y se invierten, es decir, la región en el primer
cuadrante entre el eje y y la curva x = f(y), y que queda entre y = c y y = d, gira alrededor del eje x
∫
V = 2π
yf () y dy = 2π
yx dy
c
d
∫
c
d
EJEMPLO 30.4. Gire en torno del eje y la región que está por encima del eje x y por debajo de y = 2x 2 , y entre x
= 0 y x = 5. Por la fórmula de capas cilíndricas, el sólido resultante tiene el volumen
5
2
3
4
2 xy dx 2 x( 2x ) dx 4 x dx ( x ) 625
0
5
0
Observe que el volumen hubiera podido calcularse mediante la fórmula de washer, pero el cálculo hubiera
sido un tanto más complicado.
5
0
5
0
Diferencia de la fórmula de capas
Sea 0 g(x) f(x) en un intervalo [a, b] con a 0. Sea la región del primer cuadrante que está entre las
curvas y = f(x) y y = g(x) y entre x = a y x = b. Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido al girar
alrededor del eje y se obtiene con
b
V 2 x( f( x) g( x)) dx (Diferencia de la fórmula de capas)
a