Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 55 Centroides y momentos de inercia
10. Halle I x , I y e I 0 para el área encerrada por el lazo y 2 = x 2 (2 – x) (fig. 55.10).
A
2 x 2 x
2
dA 2 dy dx 2 x 2 xdx
0 0 0
R
0
4 2z 2 z 4 dz 4 2 2
3 z 3 1 5 z
5
y
0
2
32 2
15
O
x
Fig. 55.10
donde se ha utilizado la transformación 2 – x = z 2 . Entonces,
I x
y 2 2 x 2 x
dA 2 y 2 dy dx 2 0 0
3
R
4 3
0
2
2
x 3
0
2 x 3/2 dx
2 z 2 3 z 4 dz 4 8
3 5 z 5 12 7 z 7 2 3 z 9 1
I y
x 2 2 x 2 x
dA 2 x 2 2
dy dx 2 x 3 2 xdx
0 0 0
R
11 z11
0
4 2 z 2 3 z 2 8
dz 4
2
3 z 3 12 5 z 5 6 7 z 7 1 9 z
9
13 312 2
I 0
I x
I y
3465
416
231 A
0
2
0
2
2048 2
3465 64
231 A
1024 2
315
32
21 A
11. Halle I x , I y e I 0 para el área del primer cuadrante exterior al círculo r = 2a y para el interior al círculo r = 4a
cos q (fig. 55.11).
p / 3 4 a cosq
p / 3
1
A dA r dr dq
0 2 a
4a cosq 2 2a 2
2
dq 2p 3 3 a 2
0
R
3
p /
I x
y 2 3 4 a cosq
dA r sen q 2 p / 3
1
r dr dq
0 2 a
4a cosq 4 2a 4
4
0
sen 2 q dq
R
p /
4a 2 3
16 cos 4 q 1sen 2 q dq 4p 9 3 a 4 4p 9 3
0
6 22p 3 3 a 2 A
I y
p /
x 2 3 4 a cosq
dA r cos q 2 r dr dq
0 2 a
R
12p 11 3
2
a 4
312p 11 3
22p 3 3 a 2 A
I 0
I x
I y
20p 21 3
3
a 4
20p 21 3
2p 3 3
y
a 2 A
O
x
Fig. 55.11