Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 46 Serie de potencias
n
0
Por radio de convergencia de a ( x
c)
En el caso a)
En el caso b) R 1
En el caso c) 0
n
n
se entiende:
Nota: en el caso b), si la serie de potencias no converge en ninguno de los puntos finales de su intervalo de
convergencia en uno o en ambos puntos finales, depende de la serie dada.
Para ver una demostración del teorema 46.2, repase el problema 5.
EJEMPLO 46.2.
La serie de potencias
n
( x )
( x
) ( x
)
2 2 2
( x 2)
n
2 3
n1
2 3
es una serie de potencias en torno a 2. Se utiliza el criterio de la razón para hallar el intervalo de convergencia
sn
s
+ 1
n
=
n+
1
| x − 2| | x − 2|
n + 1 n
n
n
sn
1
= | x − 2|. Entonces, lím | x 2 | .
n + 1
n
s
n
Entonces, por el criterio de la razón, la serie converge absolutamente para |x – 2| < 1. La última desigualdad
equivale a –1 < x – 2 < 1, que a su vez equivale a 1 < x < 3. Por tanto, el intervalo de convergencia es (1, 3) y el
n
radio de convergencia es 1. En el punto terminal x = 1, la serie se convierte en [( 1) / n ], lo que converge por
n1
+∞
el teorema de series alternadas. En el punto terminal x = 3, la serie se convierte en ∑ (/ 1 n)
, la serie armónica
n= 1
divergente. Entonces, la serie de potencias converge para 1 x < 3.
EJEMPLO 46.3.
La serie de potencias
+∞
n
2 3
x
x
x x
∑ = 1 + + + +⋅⋅⋅
n! 2! 3!
n
es una serie en torno a 0. (Recuérdese que 0! = 1.) Se utiliza el criterio de la razón:
= 0
sn
s
+ 1
n
n+
1 n
=
| x|
|| x
=
|| x
s
. Entonces, lím
( n + 1)!
n!
n + 1
n s
n1
n
0.
Así, por el criterio de la razón, la serie converge (absolutamente) para todo x. Su intervalo de convergencia es (-,
+) y su radio de convergencia es .
EJEMPLO 46.4.
La serie de potencias
+∞
nx n
2 3
∑ ! = 1+ x+ 2! x + 3!
x +⋅⋅⋅
es una serie de potencias en torno a 0. Se utiliza de nuevo el criterio de la razón:
n=
0
sn
s
+ 1
n
=
( n+
1)!| x|
n
n!| x|
n+
1
s
= ( n+
1)| x|. Entonces, lím
n s
n1
n
excepto cuando x = 0. Así, la serie converge sólo para x = 0. Su “intervalo” (degenerado) de convergencia es {0} y
su radio de convergencia es 0.