Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 39 Vectores en un plano
Q
B
P
b
B
b
B
b
a
b
A
A
– b
a
a
a
P
P
(a) (b) (c) (d)
a b
a b
a b
a b
A
Fig. 39.2
Si a y b son los vectores de la figura 39.1b), su diferencia a – b se halla por cualquiera de estas dos formas
equivalentes:
1. De la relación a – b = a + (–b) como en la figura 39.2c).
2. Trazando los vectores como en la figura 39.1c) y completando el triángulo. En la figura 39.2d), el vector
BA = a – b.
Si a, b y c son vectores, las leyes siguientes son válidas:
Propiedad (39.1) (ley conmutativa) a + b = b + a
Propiedad (39.2) (ley asociativa) a + (b + c) = (a + b) + c
Propiedad (39.3) (ley distributiva) k(a + b) = ka + kb
Véase los problemas 1 a 4.
Componentes de un vector
En la figura 39.3a), sea a = PQ un vector y sean PM y PN otras dos rectas cualesquiera dirigidas hasta P. Se
construye el paralelogramo PAQB. Entonces
a = PA + PB
y se dice que a se ha resuelto en las direcciones PM y PN. PA y PB se llamarán las componentes de un vector
de a en el par de direcciones PM y PN.
Considérese el siguiente vector a en un sistema de coordenadas rectangulares [figura 39.3b)], que tiene las
mismas unidades de medida en los dos ejes. Se representa con i el vector que va de (0, 0) a (1, 0) y con j el
vector que va de (0, 0) a (0, 1). La dirección de i es la del eje positivo x y la de j es la del eje positivo y, y ambos
son vectores unitarios, es decir, vectores de magnitud 1.
Desde el punto inicial P y el punto terminal Q de a se trazan las perpendiculares al eje x, que lo cortan en M
y N, respectivamente, y al eje y, que lo cortan en S y T, respectivamente. Ahora, MN = a 1 i, cuando a 1 positivo,
y ST = a 2 j, con a 2 negativo. Entonces: MN = RQ = a 1 i, ST = PR = a 2 j, y
a = a 1 i + a 2 j (39.1)
P
A
a
M
B
Q
N
S
a 2 j
P
T
(0, 1)
R
j (1, 0)
O i M
a
a 1 i
N
Q
x
(a)
(b)
Fig. 39.3