Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 43 Series infinitas
segundos para recorrer esa distancia, pero T, entre tanto, se ha movido 0.01(0.0001) = 0.000001 pies, etcétera.
El límite de la distancia entre A y T tiende a 0. El tiempo implicado es 100 + 0.1 + 0.0001 + 0.0000001 +,
que es una serie geométrica con primer término a = 100 y razón r = 1/1000. Su suma es
a 100 100
1− r
= = =
1−
( 1/ 1000)
999/
1000
100000
999
lo que constituye un poco más de 100 segundos. La paradoja surge de la división artificial del hecho en
infinitamente muchos pasos cada vez más y más cortos.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
12. Analice cada una de las series geométricas siguientes. Si la serie converge, halle su suma.
a) 4 1 1 1
4 16 Respuesta: S = 16 5
b) 1 3 9 27
+ 2 + 4 + 8 +⋅⋅⋅ Respuesta: Diverge
c) 1 1 1 1
3 9 27 Respuesta: S = 4
3
d) 1 + e –1 + e –2 + e –3 + Respuesta: S =
e
e − 1
13. Una bola de caucho cae de una altura de 10 pies. Cuando golpea el suelo, rebota hacia arriba tres cuartos de la
altura anterior. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la bola antes que se detenga?
Respuesta:
70 pies
1 1 1 1
14. Analice la serie ∑ = + + +⋅⋅⋅
nn ( + 4)
15 ⋅ 2 ⋅ 6 3 ⋅ 7 .
Respuesta: S = 25
48
15. Analice la serie
∑
Respuesta: S = 1 4
1
=
1
+
1
+
1
+⋅⋅⋅
nn ( + 1)( n+
2)
123 ⋅ ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 ⋅ 5
+∞
∑
16. Evalúe s n cuando s n es la siguiente:
n= 1
1
a) 3 –n ; b)
nn ( + 2)
; c)
Respuestas: a) 1 2; b) 3 4; c) 11
18; d) 1
1
nn ( + 3)
; d)
n
( n + 1)!
17. Demuestre que cada una de las series diverge:
5 7 9 3 4
a) 3 + 2 + 3 + 4 +⋅⋅⋅ b) 2+ 2 + 2 + 2 +⋅⋅⋅ c)
e2 e3 e4
d) e + + + +⋅⋅⋅
8 27 64 e)
1
n n1
1
2
+
1
+
1
+
1
+⋅⋅⋅
3 4
2 2 2
18. Evalúe lo siguiente:
+∞
+∞
+∞
a) 1 1
∑ ( n
+
n
2 7 )
b) 1
∑ 4
c) 2n
+ 1
∑ 2 2
n ( n+
1 )
n=
0
n=1
n
n=
1