Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

369
40. 3 5
2
+ 7 9
10
+ 30
+ 68
+⋅⋅⋅.
Respuesta: s = 2n
+ 1
1
n 3 ; converge; comparación por paso al límite con
n + n
n
2
41. 3 10
2
+ 29 66
24
+ 108
+ 320
+⋅⋅⋅.
42.
43.
Respuesta:
s = 3
n + 2 n 4 3 ; diverge; comparación por paso al límite con
1
n + n
n
1 2 3 4
2 2 2 2
2 1
3 2
4 3
5 4
.
Respuesta: s = n
1
n ( n + ) − ; diverge; comparación por paso al límite con
1 2 n
n
1 1 1 1
3 2
3 2
3 2
3 2
.
2 1 3 2 4 3 5 4
Respuesta: s = 1
n n + − ; converge; comparación por paso al límite con
1
( ) n
n
3
1 3 2
CAPÍTULO 44 Series con términos positivos
44. (CG) Estime el error cuando:
a)
+∞
1
∑ es aproximada por la suma de sus primeros seis términos.
n
3 + 1
n = 1
b)
+∞
1
∑ n es aproximada por la suma de sus primeros seis términos.
4 3
+
n = 1
Respuestas: a) 0.0007; b) 0.00009
45. (CG) a) Calcule el error cuando la serie geométrica 3
es aproximada por la suma de sus primeros seis
2
términos.
n
b) ¿Cuántos términos son suficientes para calcular la suma si el error permisible es 0.00005?
Respuestas: a) 0.047; b) 16
1
46. (CG) a) ¿Cuántos términos es suficiente aproximar ∑ 4 con un error < 0.001?
+∞
n n=1
+∞
1
n 4
n=1
b) Determine un límite en el error si se aproxima ∑ por la sexta suma parcial
+∞
c) ¿Cuál es la aproximación a 1 por la sexta suma parcial, corregida a cuatro cifras decimales?
∑
n 4
n=1
Respuestas: a) 7; b) 0.0015; c) 1.0811
47. (CG) Sea S n la n-ésima suma parcial 1 +
1
+⋅⋅⋅+
1
de la serie armónica divergente.
2 n
a) Demuestre que ln (n + 1) ≤ S n ≤ 1 + ln n.
b) Sea E n = S n – ln n. Demuestre que E n es acotada y decreciente.
c) Demuestre que E n converge. Su límite se representa con y se denomina la constante de Euler.
d) Use una graficadora para aproximar E 999 a ocho cifras decimales.
Respuestas: d) 0.57771608 (de hecho, 0.57721566).