Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 21 Diferenciales. Método de Newton
y
y
0
x 1
x 1 x 0 x
0
x 0
x
Fig. 21.2
Una ecuación punto-pendiente de la recta es
y – f(x 0 ) = f (x 0 )(x – x 0 )
ya que f (x 0 ) es la pendiente de . Si corta el eje x en (x 1 , 0), entonces
0 – f(x 0 ) = f (x 0 )(x 1 – x 0 )
f( x0)
Si f (x 0 ) 0, x1 x0
f ( x )
f( x0)
Por tanto, x1 x0
f ( x )
Ahora se aplica el mismo razonamiento, pero comenzando con x 1 en lugar de x 0 . El resultado es un número
x 2 que debería ser más próximo a la solución de (4) que x 1 , donde x 2 = x 1 – f(x 1 )/f (x 1 ). Si se repitiera este procedimiento,
se obtendría una secuencia de números x 0 , x 1 , x 2 ,..., x n ,... determinada por la fórmula
x = f x
x − (
n)
n+ 1 n
f′
( x )
(5)
Esto se conoce como el método de Newton para hallar cada vez mejores aproximaciones a una solución de
la ecuación f(x) = 0. Sin embargo, el método no siempre funciona (algunos ejemplos de las dificultades que
pueden presentarse se muestran en los problemas 23 y 24).
EJEMPLO 21.3. Es posible aproximar 3 aplicando el método de Newton a la función f(x) = x 3 – 3. Aquí, f (x) =
2x y (5) se lee
2 2 2 2
x x x x
x = n
n n
n
x − − 3 2 −( −3)
n
+ 3
+ 1 n = =
2xn
2xn
2
(6)
xn
Sea 1 la primera aproximación x 0 , ya que se sabe que 1< 3 < 2. Sustituyendo sucesivamente n = 0, 1, 2,...
en (6)*, se obtiene
x1
=
1 3 + 3
= 2
2
2
x
2 3 7
2 =
+ = = 175 .
22 ( ) 4
x
3
2
175 3
(. ) +
=
21 ( . 75)
= 1.
732 142 857
2
(. 1 732 142 857)
+ 3
x4
=
= 1.
732 050 81
2(.
1 732 142 857)
2
(. 1 732 050 81)
+ 3
x5
=
= 1.
732 050 808
2173 (. 2 050 81)
2
(. 1 732 050 808)
+ 3
x6
=
= 1.
732 050 808
21 (. 732 050 808)
Como la calculadora dio x 6 = x 5 , no se puede ir más allá, y se ha obtenido la aproximación 3 ~ 1. 732 050 808,
que de hecho es correcta para el número indicado de cifras decimales.
* Los cálculos son tan tediosos que debería utilizarse una calculadora, preferentemente programable.
0
0
n