Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Trazo de curvas.
Concavidad. Simetría
Concavidad
Desde un punto de vista intuitivo, el arco de una curva es cóncavo hacia arriba si tiene la forma de una taza [fig.
15.1a)] y que es cóncavo hacia abajo si tiene la forma de una cúpula [fig. 15.1b)]. Sin embargo, es posible una
definición más precisa. Un arco es cóncavo hacia arriba si para cada x 0 , el arco queda por encima de la tangente
en x 0 en algún intervalo abierto alrededor de x 0 . De igual modo, un arco es cóncavo hacia abajo si para cada x 0 ,
el arco queda por debajo de la tangente en x 0 en algún intervalo abierto alrededor de x 0 .
La mayor parte de las curvas son combinaciones de cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Por ejemplo,
en la figura 15.1c) la curva es cóncava hacia abajo de A a B y de C a D, pero cóncava hacia arriba de B a C.
B
C
D
Fig. 15.1
La segunda derivada de f indica la concavidad de la gráfica de f.
Teorema 15.1.
a) Si f (x) > 0 para x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba para a < x < b.
b) Si f (x) < 0 para x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo para a < x < b.
Repase la demostración en el problema 17.
EJEMPLO 15.1.
(a) (b) (c)
Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia abajo
a) Sea f (x) = x 2 . Entonces, f (x) = 2x, f (x) = 2. Como f (x) > 0 para toda x, la gráfica de f es siempre cóncava
hacia arriba. Esto se debe a que la gráfica señala una parábola que se abre hacia arriba.
b) Sea f( x)= y= 1−
x
2 . De ahí que y 2 = 1 – x 2 , x 2 + y 2 = 1. Entonces, la gráfica es la mitad superior del círculo
unitario con centro en el origen. Mediante derivación implícita se obtiene x + yy = 0 y, en consecuencia,
1 + yy + (y ) 2 = 0. Así, y = –[1 + (y ) 2 ]/y. Como y > 0 (excepto en x = 1), y < 0. Por tanto, la gráfica siempre
es cóncava hacia abajo, es decir, que es lo que cabía esperar.
A
Puntos de inflexión
Un punto de inflexión en una curva y = f (x) es un punto en el que la concavidad cambia, de manera que la curva
resulta cóncava hacia arriba en un lado y cóncava hacia abajo en el otro lado del punto. Entonces, si y existe
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