Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

467
En t = 0, r = i + 1 4 j + c 2 = 0 , de donde c 2 =−i − 1 4 j . Así,
( ) +
t
1 2t
1 1 1 2
r= ( e − 1)
i+ 4 e + 2 t − 4 j 2 t k
11. Determine el trabajo realizado por una fuerza F = (x + yz)i + (y + xz)j + (z + xy)k al mover una partícula del
origen O a C (1, 1, 1), a) a lo largo de una recta OC; b) a lo largo de una curva x = t, y = t 2 , z = t 3 ; c) a lo largo
de líneas rectas de O a A(1, 0, 0), A a B(1, 1, 0), y B a C.
F dr = [(x + yx)i + (y + xy)j + (z + xy)k] [i dx + j dy + k dz]
= (x + yz)dx + (y + xz)dy + (z + xy)dz
a) A lo largo de la recta OC, x = y = z y dx = dy = dz. La integral por ser evaluada se convierte en
∫
(,,) 111
1
2 3
( )
0
W = F . 2 3
dr = 3 ( x+ x ) dx= ⎡⎣ 2 x + x ⎤ ⎦ =
( 00 , , 0)
C
∫
1
0
5
2
CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
b) A lo largo de la curva dada, x = t y dx = dt; y = t 2 y dy = 2t dt; z = t 3 y dz = 3t 2 dt. En O, t = 0; en C, t = 1.
Entonces,
1
W = ∫ ( 5
t + t ) dt + ( 2 4
t + t ) t dt + ( 3 3
t + t ) 2
2 3t dt
1
0
1
[ ] =
4
= ∫ ( t + 2t + 9t
) dt = t + t + t
c) De O a A: y = z = 0 y dy = dz = 0, y x varía de 0 a 1.
De A a B: x = 1, z = 0, dx = dz = 0, y y varía de 0 a 1.
De B a C: x = y = 1 y dx = dy = 0, y z varía de 0 a 1.
0
3 5 1
2
2 1
2
3
2
6
1
Ahora, para la distancia de O a A, = ∫ xdx 1
W 1
= 2 ; ; para la distancia de A a B, = =
0
∫ ydy 1
W 2
2 , y para la
0
1
distancia de B a C, = ∫ ( z + 1)
dz 3
W 3
= 2 . Así, W = W
0
1
+ W 2
+ W 3
= 5 2 .
En general, el valor de una integral de línea (curvilínea) depende del camino de integración. Aquí se
encuentra un ejemplo de una que es independiente del camino. Es posible demostrar que la integral de línea
∫ ( fdx
1
+ fdy
2
+ fdz
3
) es independiente del camino si existe una función f(x, y, z) tal que df = f 1 dx + f 2 dy + f 3
c
dz. En este problema el integrando es
( x + yz)dx + ( y + xz)dy + z + xy
0
5
2
( ) + xyz
( )dz = d ⎡
⎣
1 2 x2 + y 2 + z 2
1
⎤
⎦
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
12. Encuentre ds
dt y d 2 s
dt 2 , dado a) s = (t + 1)i + (t2 + t + 1)j + (t 3 + t 2 + 1)k, y b) s = ie t cos 2t + je t sen 2t + t 2 k.
Respuestas: a) i + (2t + 1)j + (3t 2 + 2t + 1)k, 2j + (6t + 2)k
b) e t (cos 2t – 2 sen 2t)i + e t (sen 2t + 2 cos 2t)j + 2tk,
e t (–4 sen 2t – 3 cos 2t)i + e t (–3 sen 2t + 4cos 2t)j + 2k