Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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La recta normal a una curva en uno de sus puntos (x 0 , y 0 ) es la recta que pasa por ese punto y es perpendicular
a la tangente en ese mismo punto. Recuérdese que una perpendicular a una recta con pendiente m diferente de
cero tiene pendiente –1/m. Por tanto, si m 0 es la pendiente de la tangente, entonces y – y 0 = –(1/m)(x – x 0 ) es
una ecuación punto-pendiente de la recta normal. Si la tangente es horizontal, entonces la normal es vertical y
tiene la ecuación x = x 0 . Si la tangente es vertical, entonces la normal es horizontal y tiene la ecuación y = y 0 .
Ángulos de intersección
Los ángulos de intersección de dos curvas se definen como los ángulos formados por las rectas tangentes a las
curvas en su punto de intersección.
Para determinar los ángulos de intersección de las dos curvas:
1. Se resuelven simultáneamente las ecuaciones de las curvas para hallar los puntos de intersección.
2. Se determinan las pendientes m 1 y m 2 de las rectas tangentes a las dos curvas en cada punto de intersección.
3. Si m 1 = m 2 , el ángulo de intersección es 0°, y si m 1 = –1/m 2 , el ángulo de intersección es 90°; de lo contrario,
el ángulo de intersección puede hallarse con la fórmula
m1
m2
tan
1
mm
1 2
es el ángulo agudo de intersección cuando tan > 0, y 180° – es el ángulo agudo de intersección cuando
tan < 0.
CAPÍTULO 12 Rectas tangentes y normales
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a y = f (x) = x 3 – 2x 2 + 4 en (2, 4).
f (x) = 3x 2 – 4x. Así, la pendiente de la tangente en (2, 4) es m = f (2) = 4, y una ecuación de la recta
tangente es y – 4 = 4(x – 2). La ecuación punto-intersección es y = 4x – 4.
1
Una ecuación de la recta normal en (2, 4) es y − 4=− 4 ( x −2). Su ecuación punto-intersección es
y=− 1 x+
9 .
4 2
2. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a x 2 + 3xy + y 2 = 5 en (1, 1).
2x
3y
Por diferenciación implícita, 2x + 3xy + 3y + 2yy= 0, de manera que, y= –
3x
2 y. Entonces la pendiente de
la tangente en (1, 1) es –1. Una ecuación de la tangente es y – 1 = –(x – 1). Su ecuación punto-intersección es y
= –x + 2. Una ecuación de la recta normal es y – 1 = x – 1, o sea, y = x.
3. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes con pendiente m =−9 2 a la elipse 4x 2 + 9y 2 = 40.
2
Por derivación implícita, y = –4x/9y, de manera que en el punto de tangencia (x 0 , y 0 ), m=− 4x0/ 9y0
=−9.
Entonces, y 0 = 2x 0 .
2
Como el punto está en la elipse, 4x0
9y 2
2
2
2
+
0
= 40. Entonces, 4x0
+ 9( 2x0) = 40. Por tanto, x 0
= 1 y x 0 = 1.
Los puntos requeridos son (1, 2) y (–1, –2).
2
En (1, 2), una ecuación de la recta tangente es y − 2=− 9 ( x −1).
2
En (–1, –2), una ecuación de la recta tangente es y + 2=− 9 ( x + 1).
4. Halle una ecuación de las rectas tangentes a la hipérbola x 2 – y 2 = 16 que pasen por el punto (2, –2).
Por derivación implícita, 2x – 2yy = 0 y, por tanto, y = x/y, de manera que en el punto de tangencia (x 0 ,
y 0 ), la pendiente de la tangente será x 0 /y 0 . Por otra parte, como la tangente debe pasar por (x 0 , y 0 ) y (2, –2), la
pendiente es y + 2
x 0 0
− 2
.
y + 2
Así, x 0 0
2
2
y
=
0 x0
− 2. Por tanto, x0
− 2x0 = y0
+ 2y0
. Luego,
2
2x0 + 2y0 = x0
− y 2
0
= 16, lo que da x 0 + y 0 = 8 y, en
consecuencia, y 0 = 8 – x 0 .
2 2
Si se sustituye 8 – x 0 por y 0 en x0
− y0
= 16 y se despeja x 0 , se obtiene x 0 = 5. Luego, y 0 = 3; por ende, una
ecuación de la recta tangente es
5
y − 3= 3 ( x −5).