Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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de c. De esta manera, si f (d) fuera mayor que f (c), entonces, por el teorema del valor extremo para el intervalo
cerrado con puntos extremos c y d, f tendría un mínimo absoluto en algún punto u entre c y d. (u podría no ser
igual a c o a d.) Por consiguiente, f tendría un mínimo relativo en u, lo que contradiría la hipótesis de que f tiene
un extremo relativo sólo en c. Es posible ampliar este argumento al caso en el que f tiene un mínimo relativo en
c aplicando el resultado que se acaba de obtener para –f.
y
CAPÍTULO 14 Valores máximos y mínimos
c u d
x
Fig. 14.4
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Localice los máximos o mínimos absolutos de las siguientes funciones en sus dominios:
a) y = –x 2 ; b) y = (x – 3) 2 ; c) y = 25 −4x
2 ; d) y = x −4 .
a) y = –x 2 tiene un máximo absoluto (que es 0), cuando x = 0, ya que y < 0 cuando x 0. No tiene mínimo
relativo, puesto que su rango es (–, 0). La gráfica es una parábola que se abre hacia abajo, con vértice en
(0, 0).
b) y = (x – 3) 2 tiene un mínimo absoluto, 0, cuando x = 3, pues y > 0 cuando x 3. No tiene máximo absoluto,
pues su rango es (0, +). La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba, con vértice en (3, 0).
c) y = 25 −4x
2 tiene en 5 su máximo absoluto, cuando x = 0, ya que 25 – 4x 2 < 25 cuando x 0. 0 es su
mínimo absoluto, cuando x = 5 2. La gráfica es la mitad superior de una elipse.
d) y = x −4 muestra a 0 como su mínimo absoluto cuando x = 4. No tiene máximo absoluto. Su gráfica es
la mitad superior de una parábola con vértice en (4, 0) y x como su eje de simetría.
1 3 1 2
2. Sea f ( x)= 3 x + 2 x − 6x+
8. Halle a) los números críticos de f; b) los puntos en los que f tiene un máximo o
mínimo relativo; c) los intervalos en los que f es creciente o decreciente.
a) f (x) = x 2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2). Al despejar f (x) = 0 se obtienen los números críticos –3 y 2.
b) f (x) = 2x + 1. Luego, f (–3) = –5 < 0 y f (2) = 5. Así, por el criterio de la segunda derivada, f tiene un
máximo relativo en x = –3, donde f (–3) = 43
2
. Por el criterio de la segunda derivada, f tiene un mínimo
relativo en x = 2, donde f (2) = 2 3.
c) Considere f (x) = (x + 3)(x – 2). Cuando x > 2, f (x) > 0. Para –3 < x < 2, f (x) < 0. Para x < –3, f (x) > 0.
Así, por el teorema 13.7, f es creciente para x < –3 y 2 < x, y decreciente para –3 < x < 2.
En la figura 14.5 se muestra un dibujo de parte de la gráfica de f. Observe que f no tiene máximo ni mínimo
absolutos.