Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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La derivada
Notación delta
Sea f una función. Es usual asignarle a x cualquier argumento de f, y a y el valor correspondiente de f. Por tanto,
y = f (x). Considere cualquier número x 0 en el dominio de f. Sea x (se lee “delta x”) un pequeño cambio en el
valor de x, de x 0 a x 0 + x, y sea y (se lee “delta y”) el cambio correspondiente en el valor de y, por lo que
y = f (x 0 + x) – f (x 0 ). Entonces la razón
y
cambio en y
x cambio enx
f( x0 x)
f( x0)
x
se denomina tasa o razón de cambio promedio de la función f en el intervalo que va de x 0 a x 0 + x.
EJEMPLO 9.1. Sea y = f (x) = x 2 + 2x. Se empieza en x 0 = 1, cambia x a 1.5. Entonces x = 0.5. El cambio correspondiente
en y es y = f (1.5) – f (1) = 5.25 – 3 = 2.25. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y en el intervalo que
hay entre x = 1 y x = 1.5 es y
x = 225 .
05 . = 4.5.
La derivada
Si y = f (x) y x 0 está en el dominio de f, entonces, por la tasa de cambio instantánea de f en x 0 se entiende el
límite de la tasa promedio de cambio entre x 0 y x 0 + x cuando x se aproxima a 0:
y
f
lím lím ( x ) ( )
0
x f x0
x0 x
x0
x
siempre que este límite exista. Tal límite se denomina derivada de f en x 0 .
Notación para derivadas
Considere la derivada de f en un punto arbitrario x en su dominio:
y
f
lím lím ( x x ) f ( x
)
x
x
x0 x0
El valor de la derivada es una función de x y se indicará mediante cualquiera de las expresiones siguientes:
dy
D y y f x
d
dx
dx y d
dx f x Δy
x
= = ′ = ′( ) = = ( ) = lím
Δx→0
Δx
El valor f '(a) de la derivada de f en un punto específico a en ocasiones se indica mediante
dy
dx x=
a
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