Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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15. (CG) Use la regla de Simpson con n = 4 para aproximar
x 2
/ 2
e dxa cuatro cifras decimales.
Respuesta: 0.8556
⎛ r
16. Si se paga interés a r por ciento por año y se aumenta n veces al año, entonces P dólares se vuelven P 1 +
⎞
⎝
⎜ 100 n⎠
⎟
después de un año. Si n +, se dice que el interés se compone continuamente (es decir, se trata
de interés compuesto).
a) Si se incrementa continuamente r por ciento anual, demuestre que P se convierte Pe r/100 dólares después de
un año, y Pe rt/100 dólares después de t años.
b) Si r por ciento se incrementa continuamente, ¿en cuántos años se duplicará cierto monto de dinero?
c) (cg) Calcule con dos cifras decimales cuántos años tomaría duplicar cierta cantidad de dinero si se
incrementa continuamente a 6% anual.
d) (cg) Compare el resultado de incrementar continuamente a 5% con el obtenido al incrementar una vez al año.
100(ln 2) 69.
31
Respuestas: b) ~ ; c) aproximadamente 11.55 años;
r r
d) después de un año un dólar se vuelve 1.05 dólares cuando se incrementa una vez al año, y
aproximadamente 1.0512 dólares cuando se incrementa continuamente.
1
0
n
CAPÍTULO 26 Funciones exponenciales y logarítmicas
17. Halle (log 10 e) ln 10
Respuesta: 1
18. Escriba como un solo logaritmo con base a: 3 log a 2 + log a 40 – log a 16
Respuesta: log a 20
19. (cg) Calcule log 2 7 con ocho cifras decimales.
Respuesta: 2.80735492
20. Demuestre que log b x = (log a x)(log b a).
= − 2 2
21. (cg) Trace la gráfica de y e x /
. Indique los extremos absolutos, los puntos de inflexión, las asíntotas y
cualquier simetría.
Respuesta: máximo absoluto en (0, 1), puntos de inflexión en x = 1, el eje x es una asíntota horizontal a la
izquierda y a la derecha, simétrica respecto al eje y.
22. Dado e xy – x + y 2 = 1, halle dy por derivación implícita.
dx
xy
1 − ye
Respuesta:
xy
2y+
xe
x x
e − e
23. (cg) Trace la gráfica de y = sen hx
=
−
.
2
Respuesta: ln(e x + e –x ) + C
24. Evalúe e x
e x
x x
dx.
e e
Respuesta: ln(e x + e –x ) + C
25. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de y = x 3/x .
3y( 1−
ln x)
Respuesta:
2
x