Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

191
n
∑
Esto es resultado de que una sumatoria ( f( xk *) + g( xk *))
Δkx
para ∫ ( f( x) + g( x))
dx es igual a la sumatoria
n
n
a
k=
1
b
b
f( xk
* ) kxg( xk
* ) kx
de sumatorias de aproximación para f( x)
dx y gx ( ) dx.
k1 k1
b
a
b
a
b
( f( x) g( x)) dx f( x) dx g( x)
dx
(6)
Como f(x) – g(x) = f(x) + (–g(x)), esto se sigue de (5) y (4).
Si a < c < b, entonces f es integrable en [a, b] si sólo y si es integrable en [a, c] y [c, b]. Además, si f es
integrable en [a, b],
b
a
a
b
a
f( x) dx f( x) dx f( x)
dx
(7)
c
a
Esto es obvio cuando f(x) 0 y se interpretan los integrales como áreas. El resultado general se obtiene de
observar las sumas de aproximación correspondientes, aunque el caso en el que uno de los subintervalos de [a,
b] que contiene c requiera algún razonamiento adicional.
b
Se ha definido f( x)
dx sólo cuando a < b. Se puede ampliar la definición a todos los casos posibles de la
a
manera siguiente:
a
i) f( x)
dx 0
a
a
b
ii) f( x) dx f( x)
dx
b
cuando a < b
a
En particular, siempre se tiene que:
d
c
f( x) dx f( x)
dx
c
para todo c y d (8)
d
Se puede comprobar de inmediato que las leyes (2) a (6), la ecuación (7) y el resultado del ejemplo 3 son
válidos para límites superior e inferior arbitrarios en las integrales.
c
b
a
CAPÍTULO 23 La integral definida. Área bajo una curva
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Sea f(x) 0 para toda x en [a, b]. Sea A el área entre la gráfica de f y el eje x, desde x = a hasta x = b (fig. 23.5).
b
Demuestre que f( x) dxA.
c
y
y f(x)
B
a
A
b
x
y f(x)
Fig. 23.5
Sea B el área entre la gráfica de –f y el eje x, desde x = a hasta x = b. Por simetría, B = A. Pero
b
b
f( x) dx
f( x)
dx por (4).
a
b
a
Como f( x) dx
B f( x) dxBA
a
b
a