Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 46 Serie de potencias
9. Encuentre una serie de potencias en torno a 0 que represente la función
representación?
+∞
Por la fórmula (46.11),
1
2
2
= −1
1+
x ∑
n n
( ) x para |x| < 1. Por tanto,
n=
0
x
1 + x
2
+∞
n 2n+
1
= ∑( − 1) x para | x|
< 1
n=
0
x
. ¿En qué intervalo es válida la
+ x
1
2
La serie diverge en ambos puntos terminales x = 1 y x = –1.
En los problemas 10 y 11, aplique el criterio de la razón para determinar el intervalo de convergencia e
indique qué sucede en los puntos terminales (si hay alguno).
10.
n
n x
n
.
10
sn
s
+ 1
n
=
( )
n+
1
( n+
1) | x| n
nx || n x
n+
n
=
+ 1 || s
1
. Por tanto, lím
10 10 n 10
n→+∞
s
n+
1
n
=
|| x
10 .
Entonces, el intervalo de convergencia es |x|/10 < 1, o sea, cuando |x| < 10. Este es el intervalo de
convergencia. La serie diverge en ambos puntos terminales 10.
11.
n
n x
3 ( )n .
sn
s
+ 1 1
n
n+
( n+ 1) | x−π| n
=
nx | − π| n x
n+
n
= + 1 | − π|
1
3 3 n 3
Por tanto,
lím
n
s
s
n1
n
| x | .
3
Así, el intervalo de convergencia es |x – | < 3. La serie diverge en ambos puntos terminales.
2
( !)
12. Encuentre el intervalo de convergencia de ( 2
nn)!
xn .
Aplique el criterio de la razón:
sn
s
+ 1
n
2 n+
1 2
(( n+
1)!) | x|
( n!) | x|
=
( 2n
+ 2)!
( 2n)!
n
2
( n + 1)
=
( n+ )( n+
) || x
2 2 2 1
+
Por tanto, lím s n 1
=
| x|
n→+∞
s 4 .
n
Entonces, el intervalo de convergencia es |x| < 4.
13. Encuentre una serie de potencias en torno a 0 que represente
Empiece con
1
1 x
x n para |x| < 1. Remplace x por x 3
1
x
1
3
(ya que |x 3 | < 1 equivale a |x| < 1). Se multiplica por x:
x
x
1
3
x
.
− x
1
3
3
x n para |x| < 1
3
x n 1
para |x| < 1
En los problemas 14 a 16, halle las fórmulas simples para la función f (x) representada por la serie de potencias
indicada.
2 3
14. x
+
x
+
x
+⋅⋅⋅
2! 3! 4!
+∞
n
Sea f ( x)
=
x
∑ .
( n + 1 )!
n=
1
Por tanto, f ( x)=
e
x
−1−
x
.
x
xf( x)
=
+∞
∑
+∞
n+
1
x
xn
x
= x e
( n )! n ! − − = − −
+ 1 ∑ 1 1 x
n=
1 n=
0