Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Círculos
Ecuaciones de los círculos
Para que un punto P(x, y) esté en el círculo con centro C(a, b) y radio r, la distancia PC debe ser igual a r
(fig. 4.1). Por la fórmula de la distancia (2.1),
Por consiguiente, P está en el círculo si y sólo si
PC = ( x − a) + ( y −b)
2 2
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 (4.1)
La ecuación (4.1) se denomina ecuación estándar del círculo con centro en (a, b) y radio r.
y
P(x, y)
r
C(a, b)
x
EJEMPLO 4.1.
Fig. 4.1
a) El círculo con centro (3, 1) y radio 2 tiene la ecuación (x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 4.
b) El círculo con centro (2, –1) y radio 3 tiene la ecuación (x – 2) 2 + (y + 1) 2 = 9.
c) ¿Cuál es el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación (x – 4) 2 + (y – 5) = 25?
Por (4.1), ésta es la ecuación del círculo con centro en (4, 5) y radio 5. Se dice que ese círculo es la gráfica de la
ecuación dada, es decir, el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación.
d) La gráfica de la ecuación (x + 3) 2 + y 2 = 2 es el círculo con centro en (–3, 0) y radio 2.
Ecuación estándar de un círculo
La ecuación estándar de un círculo con centro en el origen (0, 0) y radio r es
x 2 + y 2 = r 2 (4.2)
Por ejemplo, x 2 + y 2 = 1 es la ecuación del círculo con centro en el origen y radio 1. La gráfica de x 2 + y 2 =
5 es el círculo con centro en el origen y radio 5.
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