Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Series alternadas. Convergencia
absoluta y condicional.
Criterio del razón
Series alternadas
Una serie cuyos términos son alternativamente positivos y negativos es una serie alternada. Se puede escribir
de la forma
donde a n son todos positivos.
(–1)n+1 a n = a 1 – a 2 + a 3 – a 4 + a 5 –
Teorema 45.1. Teorema de las series alternadas. Sea (–1) n+1 a n una serie alternada. Supóngase que: 1. la sucesión
a n es decreciente; 2. lím n a n = 0. Entonces:
I. (–1)n+1 a n converge a una suma A.
II. Si A n es la n–ésima suma parcial y R n = A – A n es el error correspondiente, entonces |R n | < a n+1 (es decir, el
error es menor en magnitud que el primer término omitido).
I. Como a n es decreciente, a 2n+1 > a 2n+2 y, por tanto, a 2n+1 – a 2n+2 > 0. Entonces,
A 2n+2 = (a 1 – a 2 ) + (a 3 – a 4 ) +···+ (a 2n–1 – a 2n ) + (a 2n+1 – a 2n+2 )
Entonces, la sucesión A 2n es creciente. También,
= A 2n + (a 2n+1 – a 2n+2 ) > A 2n > 0
A 2n = a 1 – (a 2 – a 3 ) – (a 4 – a 5 ) –···– (a 2n–2 – a 2n–1 ) – a 2n < a 1
Por tanto, A 2n es acotada. Luego, por el teorema 42.8, A 2n converge al límite L. Ahora A 2n+1 = A 2n + a 2n+1 .
Por consiguiente,
lím A lím A lím a L L
n
2n1 2n
2n1 0
n
n
Así pues, lím n A n = L y, por tanto, (–1) n+1 a n converge.
II. R 2n = (a 2n+1 – a 2n+2 ) + (a 2n+3 – a 2n+4 ) +···> 0 y R 2n = a 2n+1 – (a 2n+2 – a 2n+3 ) – (a 2n+4 – a 2n+5 ) –···< a 2n+1 . Por tanto, |R 2n |
< a 2n+1 . Para índices impares, R 2n+1 = –(a 2n+2 – a 2n+3 ) – (a 2n+4 – a 2n+5 ) –···< 0 y R 2n+1 = –a 2n+2 + (a 2n+3 – a 2n+4 ) +
(a 2n+5 – a 2n+6 ) +···> –a 2n+2 . Por tanto, |R 2n+1 | < a 2n+2 . Así, para todo k, |R k | < a k+1 .
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