Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 14 Valores máximos y mínimos
Entonces,
dC
dv
v v
=
1
−
100 ( − 50)( + 50) 2
=
2 .
25 v 25v
Puesto que v > 0, el único número crítico relevante es v = 50. Como d 2 C/dv 2 = 200/v 3 > 0 cuando v = 50, el
criterio de la segunda derivada indica que C tiene un mínimo relativo en v = 50. Como v = 50 es el único
número crítico en (0, +), el teorema 14.1 establece que C tiene un mínimo absoluto en v = 50. Así, la
velocidad más económica es 50 millas por hora.
17. Un hombre en un bote de remos situado en P (fig. 14.12) a 5 millas en línea recta del punto A más cercano
a una costa, desea llegar al punto B, a 6 millas de A a lo largo de la costa, en el tiempo más corto. ¿Dónde
debería desembarcar si puede remar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas por hora?
P
5
25 x 2
A
C
x 6 – x
Fig. 14.12
B
Sea C el punto entre A y B donde el hombre desembarca, y sea AC = x. La distancia remada es
2
PC = 25 + x y el tiempo necesario para remar es t distancia = 25 + x 2
1 . La distancia caminada es CB = 6 – x, y
rapidez 2
el tiempo que se necesita para caminar es t 2 = (6 – x)/4. Por tanto, el tiempo total necesario equivale a
t = t + t =
1 2
25 + x
2
2
+
6 − x
. Entonces,
dt
4 dx
=
x
2 25+
x
2
x x
−
1 2 − 25+
=
4
2
4 25+
x
El número crítico obtenido de la igualdad 2x− 25+ x 2 = 0 es x = 5 3 3 ~ 289 . . Luego, debería
desembarcar en un punto aproximado de 2.89 millas de A hacia B. (¿Cómo se sabe que este punto da el tiempo
más corto?)
18. Un campo rectangular, uno de cuyos bordes limita un río que corre en línea recta, será cercado con alambre. Si
no se necesita cercar a lo largo del río, muestra la cantidad mínima de alambre que se precisaría si la longitud
del campo es dos veces su ancho.
Sea x la longitud del campo y y su ancho. El área del campo es A = xy. El alambre necesario es F = x + 2y,
y dF/dx = 1 + 2 dy/dx. Cuando dF/dx = 0, dy/ dx =− 1 2.
También, dA/dx = 0 = y + x dy/dx. Entonces, y − 1 x = 0 y x = 2y, como se requiere.
2
Para ver que se ha minimizado F, observe que dy/dx = –y 2 /A y
2
2
dF dy y dy y
2
= 2
2
= 2 ⎛ −2 ⎞
4
dx dx ⎝ A dx ⎠ =− A
( )
− 1 y
dy
= 2 >0 cuando
2 A
dx =−1 2 .
Ahora use el criterio de la segunda derivada y la unicidad del número crítico.
2
.
19. Halle las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo V que puede circunscribirse en una esfera
cuyo radio es 8 pulgadas.
Sea x el radio de la base del cono, y y + 8 la altura de este último (fig. 14.13). De los triángulos rectángulos
semejantes ABC y AED se tiene que
2
x y + 8
2
64( y + 8) =
y, por tanto, x =
8 2
2 .
y − 64
y − 64
También
2 2
πx ( y+
8) 64π( y+
8)
V
dV 64π(
y + 8)( y − 24)
= =
. Entonces, =
.
3 3( y − 8)
dy 3( y − 8)
2