Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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15. Encuentre una ecuación de la tangente en cualquier punto P(x, y) de la curva x = a cos 3 t, y = a sen 3 t. Muestre
que la longitud del segmento de la tangente cortada por los ejes de coordenadas es a.
Respuesta: xsen t + ycos t =
a
sen 2t
2
16. Para la curva x = t 2 – 1, y = t 3 – t, halle los puntos en los que la tangente es a) horizontal y b) vertical.
Demuestre que en el punto donde la curva se corta a sí misma, las dos tangentes son perpendiculares entre sí.
Respuesta: a) t =± 3
3 ; b) t = 0
En los problemas 17 a 20, encuentre la longitud del arco especificado de la curva dada.
17. El círculo x = a cos , y = a sen de = 0 a = 2.
Respuesta:
2a
CAPÍTULO 37 Representación paramétrica de curvas
18. x = e t cos t, y = e t sen t de t = 0 a t = 4.
Respuesta: 2( e 4 − 1)
19. x= ln 1+
t 2
, y = tan –1 t de t = 0 a t = 1.
Respuesta: ln( 1+
2)
20. x = 2 cos + cos 2 + 1, y = 2sen + sen 2.
Respuesta: 16
21. La posición de un punto en el instante t está dado como x = 1 2 t
2 1
32
, y = 9 ( 6t
+ 9) / . Determine la distancia que se
desplaza el punto de t = 0 a t = 4.
Respuesta: 20
22. Identifique las curvas dadas por las ecuaciones paramétricas siguientes y escriba las ecuaciones para las curvas
en términos de x y y:
a) x = 3t + 5, y = 4t – 1 Respuesta: línea recta: 4x – 3y = 23
b) x = t + 2, y = t 2 Respuesta: parábola: y = (x – 2) 2
c) x = t – 2, y =
t
Respuesta: hipérbola:
t − 2
y =
2
+ 1
x
d) x = 5 cos t, y = 5 sen t Respuesta: círculo: x 2 + y 2 = 25
23. (CG) Use una graficadora para hallar las gráficas de las curvas parámetricas siguientes:
a) x = + sen , y = 1 – cos (cicloide)
b) x = 3 cos 3 , y = 3 sen 3 (hipocicloide)
c) x = 2 cot , y = 2 sen 2 (bruja de Agnesi)
d) x =
3θ
3
( 1+
θ ) , y = 2
3θ
3
( 1+
θ )
(folio de Descartes)