Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

306
CAPÍTULO 37 Representación paramétrica de curvas
Cuando t = 2 2
π d 62 ( / 3)
3 ,
dt 94( 1/ 3)
a razón de 24
31 radianes por segundo.
2
24
31
. Luego, el ángulo de inclinación de la tangente es decreciente
5. Determine la longitud de arco de la curva x = t 2 y y = t 3 de t = 0 a t = 4.
dx
= 2 t, dy = 3t
dt dt
2 y dx
2
dy
( t t t
dt ) + ⎛ 2
⎞
⎝ dt ⎠ = 2 + 4 = 2
4 9 4 + 9
( 1 t
4
2 ).
Entonces,
∫
4
L = 2t 1+ 9 t 2 4
9 2 1/
2 9
dt = 1+
t t dt
4 9 ( 4 ) ( 2 )
0
0
4
= 9 2 9 2 3/
2
4
8
( 1+ 4 t ) ] = 27 ( 37 37 −1)
3
0
∫
4
6. Halle la longitud de un arco de la cicloide x = – sen , y = 1 – cos entre = 0 y = 2.
dx
1cos
d
, dy
2
sen dx dy
d
y
1 ) s 2
d 2
d 2 2
( cos en ( 1
2
cos ) 4sen
2 . Entonces,
2∫
2π
4
L = sen
θ
( ) dθ
=− 4cos θ
( ) ⎤ =−4(cosπ
−cos
0 2
2 ⎦ 0
0) = 8
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
En los problemas 7 a 11, determine a) dy
dx , b) d 2
y
dx
7. x = 2 + t, y = 1 + t 2 Respuestas: a) 2t; b) 2
2 .
8. x = t + 1/t, y = t + 1 Respuestas: a) t 2 /(t 2 – 1); b) –2t 3 /(t 2 – 1) 3
9. x = 2 sen t, y = cos 2t Respuestas: a) –2 sen t; b) –1
10. x = cos 3 , y = sen 3 Respuestas: a) –tan ; b) 1/(3cos 4 sen )
11. x = a(cos + sen ), y = a(sen – cos ) Respuestas: a) tan ; b) 1/(a cos 3 )
12. Establezca la pendiente de la curva x = e –t cos 2t, y = e –2t sen 2t en el punto t = 0.
Respuesta: –2
13. Determine las coordenadas rectangulares del punto más alto de la curva x = 96t, y = 96t – 16t 2 . (Sugerencia:
halle t para el y máximo).
Respuesta: (288, 144)
14. Determine las ecuaciones de la tangente y la normal de las curvas siguientes en los puntos determinados por el
valor dado del parámetro:
a) x = 3e t , y = 5e –t en t = 0
b) x = a cos 4 , y = a sen 4 en
4
Respuestas: a) 3y + 5x = 30, 5y – 3x = 16; b) 2x + 2y = a, y = x