Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

46
Serie de potencias
Serie de potencias
Una serie infinita
n
0 1 2
n0
n
2
a ( xc) a a ( xc) a ( xc)
se denomina serie de potencias en x en torno a c con coeficientes a n . Un caso especial e importante
+∞
∑ n 0 1 2
n=
0
n
2
ax = a + ax+ ax +⋅⋅⋅
(46.1)
(46.2)
es una serie de potencias en torno a 0.
Para un valor de x dado, la serie (46.1) converge o diverge. Por tanto, (46.1) determina una función f cuyo
dominio es el conjunto de todos los x para los cuales (46.1) converge y cuyo valor f(x) correspondiente es la
suma de la serie.
Nótese que (46.1) converge cuando x = c.
EJEMPLO 46.1. La serie de potencias en torno a 0
+∞
n
2
∑ x = 1 + x+ x +⋅⋅⋅
es una serie geométrica con razón r = x. Así, converge para |x| < 1 y su suma es
función correspondiente es un intervalo en torno a 0.
n=
0
0
1
. Entonces, el dominio de la
1− x
n
Teorema 46.1. Supóngase que la serie de potencias an( x
c)
converge para x 0 c. Por tanto, converge
n
absolutamente para todo x tal que |x – c| < |x 0 – c| (es decir, para todo x que esté más próximo a c que x 0 ).
Repase el problema 4 para ver una demostración.
0
n
Teorema 46.2. Para una serie de potencias an( x
c)
, uno de los tres casos siguientes es verdadero:
n
a) Converge para todo x.
b) Converge para todo x en un intervalo abierto (c – R 1 , c + R 1 ) alrededor de c, pero no fuera del intervalo cerrado
[c – R 1 , c + R 1 ].
c) Converge sólo para x = c.
n
0
n
Por intervalo de convergencia de a ( x
c)
se entiende:
En el caso a): (–, +)
En el caso b): (c – R 1 , c + R 1 )
En el caso c): {c}
n
379