Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 3 Rectas
y
y
C 1
A 1
B 1
P
A 2
C 2
1
1
2
2
x
x
B 2
(a)
(b)
Fig. 3.9
Recíprocamente, supón que dos rectas diferentes 1 y 2 no son paralelas y se hallan en el punto P, como en
la figura 3.9(b). Si 1 y 2 tuvieran igual pendiente entonces serían la misma recta. Por tanto, 1 y 2 tienen
pendientes diferentes.
Teorema 3.1.
Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.
EJEMPLO 3.4. Halle la ecuación punto–intersección de la recta que pasa por (4, 1) y es paralela a la recta
que tiene por ecuación 4x – 2y = 5.
Al despejar y en la última ecuación se observa que tiene la ecuación punto–intersección y = 2x – 5 2
. Por tanto,
tiene pendiente 2. La pendiente de la recta paralela también debe ser 2, de manera que la ecuación punto–intersección
de presenta la forma y = 2x + b. Puesto que (4, 1) queda en , se puede escribir 1 = 2(4) + b. Por ende, b
= –7 y la ecuación punto–intersección de es y = 2x – 7.
Rectas perpendiculares
En el problema 5 se debe probar lo siguiente.
Teorema 3.2. Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es –1.
Si m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas perpendiculares, entonces m 1 m 2 = –1. Esto equivale a m2
=−
1
;
m1
por tanto, las pendientes de rectas perpendiculares son cada una la recíproca negativa de la otra.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle la pendiente de la recta de ecuación 3x – 4y = 8. Trace la recta. ¿Los puntos (6, 2) y (12, 7) están en ella?
3
Al resolver para y en la ecuación se obtiene y = 4 x −2. Esta es la ecuación punto–intersección; la pendiente
es 3 4 y la intersección con el eje y es –2.
Al sustituir 0 por x se observa muestra que la recta pasa por el punto (0, –2). Para trazar la recta se necesita
3
otro punto. Si se remplaza x por 4 en la ecuación punto–intersección resulta y = 4 ( 4 ) − 2 = 1 , de manera que
(4, 1) también queda sobre la recta, como se presenta en la figura 3.10. (También es posible hallar otros puntos
sobre la recta si se sustituye x por un número diferente de 4.)
Para probar si (6, 2) queda sobre la recta, se sustituye x por 6 y y por 2 en la ecuación original 3x – 4y = 8.
Los dos lados resultan diferentes; por tanto, (6, 2) no está sobre la recta. El mismo procedimiento demuestra
que (12, 7) queda en la recta.