Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 13 Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes
b) f (x) = 0 cuando x = 0 o x = 4. f tiene una discontinuidad en x = –2, un punto que no está en [0, 4]. Además,
f (x) = (x 2 + 4x – 8)/(x + 2) 2 existe en todo punto excepto cuando x = –2. Así, se aplica el teorema y
x 0
= 2( 3 −1) , la raíz positiva de x 2 + 4x – 8 = 0.
3. Halle el valor de x 0 enunciado en el teorema del valor medio cuando f (x) = 3x 2 + 4x – 3 y a = 1 y b = 3.
f (a) = f (1) = 4, f (b) = f (3) = 36, f (x 0 ) = 6x 0 + 4 y b – a = 2. Así, 6x 0 + 4 = 36 − 4
2
= 16. Por tanto, x 0 = 2.
4. Determine un valor x 0 enunciado en el teorema del valor medio extendido cuando f (x) = 3x + 2 y g(x) = x 2 + 1,
en [1, 4].
Se debe hallar x 0 de manera que
Entonces, x 0 = 5 2 .
fb ( ) fa ( ) f( 4) f( 1)
14 5 3
0 3
gb ( ) ga ( ) g( 4) g( 1)
17 2
5
f ( x )
g( x ) 2x
0 0
5. Demuestre el teorema 13.1: si f tiene un extremo relativo en un punto x 0 en el que f (x 0 ) está definida, entonces
f (x 0 ) = 0.
Considérese el caso de un máximo relativo. Como f tiene un máximo relativo en x 0 , entonces para un
x suficientemente pequeño, f (x 0 + x) < f (x 0 ), de modo que f (x 0 + x) – f (x 0 ) < 0. Luego, cuando x < 0,
f( x x) f( x )
x
0 0
0
. Así
Cuando x 0 > 0, f ( x
x ) f ( x )
x
0 0
0
f x x f x
f ( x ) lím ( ) ( )
0
0
0
x0
x
f x
lím ( 0
x) f( x )
x0
x
. Por tanto,
Como f (x 0 ) 0 y f (x 0 ) 0, entonces f (x 0 ) = 0.
f x x f x
f ( x ) lím ( ) ( )
0
0
0
x0
x
0
0
f x
lím ( 0
x) f( x )
x0
x
0
0
6. Demuestre el teorema de Rolle (teorema 13.2): si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en
el intervalo abierto (a, b), y si f (a) = f (b) = 0, entonces f (x 0 ) = 0 para algún punto x 0 en (a, b).
Si f (x) = 0 a lo largo del intervalo cerrado [a, b], entonces f (x) = 0 para toda x en (a, b). Por otra parte,
si f (x) es positivo (negativo) en algún punto en (a, b), entonces, por el teorema del valor extremo (teorema
8.7), f tiene un valor máximo (mínimo) en algún punto x 0 en [a, b]. Ese valor máximo (mínimo) debe ser
positivo (negativo) y, por consiguiente, x 0 queda en (a, b), ya que f (a) = f (b) = 0. Entonces, f tiene un máximo
(mínimo) relativo en x 0 . Por el teorema 13.1, f (x 0 ) = 0.
7. Demuestre el teorema del valor medio (teorema 13.4): sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y
diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces, existe por lo menos un punto x 0 en (a, b) para el cual
f b f a
.
f x
b a 0
fb ( ) − fa ( )
Sea F( x) = f( x) − fa ( ) − ( x− a ) .
b−
a
De esta manera, F (a) = 0 = F (b). Luego, el teorema de Rolle se aplica a F en [a, b]. Por tanto, para algún
x 0 en (a, b), F(x 0 ) = 0.
fb ( ) fa ( ) fb ( ) fa ( )
Pero F( x) f( x)
. Así, f ( x0)
0.
b
a
b
a
.