Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 16 Repaso de trigonometría
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Convierta las medidas siguientes de grados en radianes: a) 54 o ; b) 120 o .
a) 5454
3
radianes
180 radianes.
10
b) 120120
2
radianes
180 3
radianes.
2. Convierta las medidas siguientes de radianes en grados: a) 2 radianes; b) 5 radianes; c) 2 radianes.
5
6
a)
2
radianes
2
180
grados 72
5
5 .
b)
c)
5
radianes
6
5
180
grados
6
.
150
2 radianes 2 180 grados
360 .
3. a) En un círculo de radio r = 3 centímetros (cm), ¿qué longitud de arco s a lo largo de la circunferencia
corresponde al ángulo central de /6 radianes?
b) En un círculo de radio r = 4 pies, ¿qué ángulo central corresponde a una longitud de arco de 8 pies?
Se sabe que s = r , donde se mide en radianes.
a) s = ( ) 3 π
6 = π centímetros.
2
s
r
8
4
b)
2 radianes.
4. ¿Cuáles rotaciones entre 0 y 2 radianes tienen el mismo efecto que las rotaciones con las medidas siguientes?
a)
11 radianes; b) 405°; c)
radianes; d) –5 radianes.
4
3
a)
11
2
3
. Así, la rotación equivalente es 3
4 4
4 radianes.
b) 405° = (360 + 45)°. Por consiguiente, la rotación equivalente es 45°.
c)
2
5
3 3 . Entonces, la rotación equivalente es 5 radianes.
3
d) –5 + 6 = . Así, la rotación equivalente es radianes.
5. Halle sen si es un ángulo agudo tal que cos 4 5 .
4 2 2
Por (16.3), ( 5) + sen θ = 1. Luego, sen 2 9 25
y, por tanto, sen 3 5
. Como es agudo, sen es positivo.
Entonces, sen 3 5 .
6. Demuestre que sen ( – ) = sen y cos ( – ) = –cos .
Por (16.10), sen( – ) = sen cos – cos sen = (0) cos – (–1) sen = sen . Por (16.6), cos ( – )
= cos cos + sen sen = (–1) cos + (0) sen = –cos .
7. Calcule estos valores: a) sen 2/3; b) sen 7/3; c) cos 9; d) sen 390°; e) cos 3/4; f) cos /12; g) sen /8;
h) sen 19°.
a) Por el problema 6, sen
2
sen
sen
3
3
3 .
3 2
b) Por (16.1), sen
7π
3
= sen 2π
+
π
= sen
π
=
3 ( 3) .
3 2
c) Por (16.1), cos 9 = cos ( + 8) = cos = –1.
d) Por (16.1), sen 390° = sen ( 30 + 360) ° = sen 30° = 1 . 2
e) Por el problema 6, cos
3
cos
cos
2
4
4 .
4 2