Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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En (7, 2), f = 14i – 24j y
es la derivada direccional.
⎛
∇f ⋅ a = ( 14i − 24j)⋅
⎝
⎜
1
2
i+
1
2
⎞
j 7 2 12 2 5 2
⎠
⎟ = − =−
2 2
b) En (7, 2), con ∇f = 14i − 24j, ∇f = 14 + 24 = 2 193 es la máxima derivada direccional. Puesto que
f
7
i
f
12
j
193 193
icos
jsen
la dirección es q = 300° 15' (véase los problemas 2 y 6 del capítulo 52).
5. a) Encuentre la derivada direccional de F(x, y, z) = x 2 – 2y 2 + 4z 2 en P(1, 1, –1) en la dirección a = 2i + j – k.
b) Determine el valor máximo de la derivada direccional en P.
Aquí
k
i
2 2 2
F
i j
( x 2y 4z ) 2x 4yj 8zk
x y z
CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
y en (1, 1, –1), F = 2i – 4j – 8k.
a) F a = (2i – 4j – 8k) (2i + j – k) = 8
b) En P, ∇F = 84 = 2 21 . La dirección es a = 2i – 4j – 8k
6. Dada la superficie F(x, y, z) = x 3 + 3xyz + 2y 3 – z 3 – 5 = 0 y uno de sus puntos P 0 (1, 1, 1), determine a) una
normal unitaria a la superficie en P 0 ; b) las ecuaciones de la recta normal en P 0 , y c) la ecuación del plano
tangente en P 0 .
Aquí
F = (3x 2 + 3yz)i + (3xz + 6y 2 )j + (3xy – 3z 2 )k
y en P 0 (1, 1, 1), F = 6i + 9j.
a)
F
2
i
F 13
3
es una normal unitaria en P
13
0 ; la otra es −
2
i −
3
13 13
b) Las ecuaciones de la recta normal son X − 1 = Y − 1
, Z = 1,
2 3
c) La ecuación del plano tangente es 2(X – 1) + 3(Y – 1) = 2X + 3Y – 5 = 0
7. Encuentre el ángulo de intersección de las superficies
F 1 = x 2 + y 2 + z 2 – 9 = 0 y F 2 = x 2 + 2y 2 – z – 8 = 0
en el punto (2, 1, –2).
Se tiene que
F 1 = (x 2 + y 2 + z 2 – 9) = 2xi + 2yj + 2zk
y
F 2 = (x 2 + 2y 2 – z – 8) = 2xi + 4yj – k