Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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3. Analice la concavidad y los puntos de inflexión de y = 3x + (x + 2) 3/5 y luego trace la gráfica.
y 3
3
6
5( x 2) y y 2/5 25( x 2) . El posible punto de inflexión está en x = –2. Cuando x > –2, y resulta
7/5
negativa y el arco es cóncavo hacia abajo. Cuando x < –2, y es positiva y el arco es cóncavo hacia arriba. Por
tanto, existe un punto de inflexión en x = –2, donde y = –6 (fig. 15.6). Como y > 0 (excepto en x = –2), y es
una función creciente y no hay extremos relativos.
(–2, –6)
y
O
Fig. 15.6
x
CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetría
4. Si f (x 0 ) = 0 y f (x 0 ) 0, entonces hay un punto de inflexión en x 0 .
Como f (x 0 ) 0, f (x 0 ) es o positivo o negativo. Por tanto, f es creciente o decreciente en x 0 . Como
f (x 0 ) 0, f tiene signos opuestos a la izquierda y a la derecha de x 0 . Entonces, la curva tendrá concavidad
opuesta en los lados de x 0 y habrá un punto de inflexión en x 0 .
5. Halle las ecuaciones de las tangentes en los puntos de inflexión de y = f (x) = x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 8x.
Existe un punto de inflexión en x = x 0 cuando f (x 0 ) = 0 y f (x 0 ) 0. Aquí,
f (x) = 4x 3 – 18x 2 + 24x – 8
f (x) = 12x 2 – 36x + 24 = 12(x – 1)(x – 2)
f (x) = 24x – 36 = 12(2x – 3)
Los posibles puntos de inflexión están en x = 1 y x = 2. Como f (1) 0 y f (2) 0, los puntos (1, –1) y
(2, 0) son puntos de inflexión.
En (1, –1), la pendiente de la recta tangente es m = f (1) = 2 y su ecuación es
y = y 1 = m(x – x 1 ) o y + 1 = 2(x – 1) o y = 2x – 3
En (2, 0), la pendiente es f (2) = 0 y la ecuación de la recta tangente es y = 0.
6. Trace la gráfica de y = f (x) = 2x 3 – 5x 2 + 4x – 7.
f (x) = 6x 2 – 10x + 4, f (x) = 12x – 10, y f (x) = 12. Ahora, 12x – 10 > 0 cuando x > 6, 5 y 12x – 10 < 0
cuando x < 6 5. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba cuando x > 6 5 y es cóncava hacia abajo cuando
x < 6. 5 Luego, hay un punto de inflexión en x = 6. 5 Puesto que f (x) = 2(3x 2 – 5x + 2) = 2(3x – 2)(x – 1), los
números críticos son x = 2 2
3 y x = 1. Puesto que f ( 3)
20 y f (1) = 2, existe un máximo relativo en x = 2 3
161
(donde y =− 27 ~ −596
. –5.96) y un mínimo relativo en x = 1 (donde y = –6) (fig. 15.7).
2
7. Trace la gráfica de y = f( x)
=
x
x − 2 .
2 2
y =
x − 4+
4
=
x − 4
+
4
= x + 2 +
4
x − 2 x−
2 x − 2 x − 2 . Luego, y 1 4
( x )
2 2
y y
8
( x )
2 3
.
Al resolver y = 0 se obtienen los números críticos x = 4 y x = 0. Como f (4) = 1 > 0 y f (0) = –1 < 0, hay
un mínimo relativo en x = 4 (donde y = 8) y un máximo relativo en x = 0 (donde y = 0). Como y nunca es 0,
no hay puntos de inflexión. La recta x = 2 es una asíntota vertical. La recta y = x + 2 es una asíntota oblicua en
4
ambos lados, porque en la curva, y – (x + 2) = x 2
0 cuando x (fig. 15.8).