Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Regla general para el caso II
Para cada factor lineal repetido (x – r) que se presenta k veces en el denominador, se utiliza
A1 A2
A
x r x r x
k
2
k
− + + ... + como parte de la representación del integrando. Cada factor lineal que ocurre
( − ) ( − r)
sólo una vez se maneja como en el caso I.
Caso III
D(x) es un producto de uno o más factores cuadráticos irreductibles distintos y posiblemente también algunos
factores lineales (que pueden presentarse más de una vez).
Regla general para el caso III
Los factores lineales se manejan como en los casos I y II. Por cada factor cuadrático irreductible x 2 + bx + c se
coloca un término
Ax + B
en la representación del integrando.
2
x + bx+
c
( x−
1)
dx
EJEMPLO 33.9. Resuelva xx ( + 1)( x + 2) .
2 2
El integrando se representa de esta forma:
( x −1)
=
A
+
Bx + C Dx E
xx + x + x x + + +
2 2 2 2
( 1)( 2)
1 x + 2
Se eliminan los denominadores multiplicando por x(x 2 + 1)(x 2 + 2)
Se multiplica a la derecha:
x – 1 = A(x 2 + 1)(x 2 + 2) + (Bx + C)x(x 2 + 2) + (Dx + E)x(x 2 + 1)
x – 1 = (A + B + D)x 4 + (B + E)x 3 + (3A + C + D)x 2 + (2C + E)x + 2A
CAPÍTULO 33 Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales
Al comparar los coeficientes se obtiene:
2A = –1, 2C + E = 1, 3A + C + D = 0, B + E = 0, A + B + D = 0
Por tanto, A =− 1 2 y, en consecuencia, C + D = 3 2, B + D = 1 2
. De las dos últimas ecuaciones, C – B = 1. De 2C + E =
1 y B + E = 0, se obtiene 2C – B = 1. Ahora, de C – B = 1 y de 2C – B = 1 se llega a C = 0. Por tanto, de C – B = 1,
B = –1. Entonces, de B + D = 1 2 se obtiene D = 3 2. Finalmente, de B + E = 0, E = 1.
Así,
( x − 1)
=−
1 1
−
x x
xx ( + )( x + ) x x + + 1 3 + 2
2 2 2 2
1 2 2 1 2 x + 2
Por tanto,
Ahora,
Además,
( x−
1)
dx
1
=− ln | x|
−
x
dx +
1 3x
+ 2
2 2
xx ( + 1)( x + 2)
2 x 2
+ 1 2 dx
x 2 + 2
x
dx
1 2x
1 2
2
=
2
dx = x
x 1 2 x 1 2 + 1
+
ln( ) (por la fórmula abreviada II)
+
3x
+ 2
dx =
x + 2
3x
dx +
x + 2
2 2 2
=
3
2 ∫
2x
2
dx +
x + 2
2
dx
x + 2
−1 ⎛ ⎞
n l
⎝
⎜
⎠
⎟ = 3 2
2 ta
x
2
+ 2 +
2 n( x ) 2tan ⎛ − 1
⎝ ⎜ x ⎞
2 ⎠
⎟
Por consiguiente,
( x
1)
dx
1 1 2
2 2
ln | x| ln( x 1)
xx ( 1)( x 2)
2 4
2 1
tan 2 x
2
C