Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetría
17. Demuestre el teorema 15.1: a) Si f (x) > 0 para x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba
para a < x < b. b) Si f (x) < 0 para x en (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo para a < x < b.
[Para a), sea x 0 que pertenece a (a, b). Como f (x 0 ) > 0, f es creciente en algún intervalo abierto I que
contiene a x 0 . Sea que x esté en I y x > x 0 . Por el teorema del valor medio, f (x) – f (x 0 ) = f (x )(x – x 0 ) para algún
x con x 0 < x < x. Como f es creciente, f (x 0 ) < f (x ). Entonces f (x) = f (x )(x – x 0 ) + f (x 0 ) > f (x 0 )(x – x 0 )
+ f (x 0 ). Pero y = f (x 0 )(x – x 0 ) + f (x 0 ) es una ecuación de la tangente en x 0 . Un argumento similar funciona
cuando x < x 0 . Luego, la curva queda por encima de la recta tangente y, por tanto, es cóncava hacia arriba.]
18. (cg) Utilice una graficadora para trazar la gráfica de f (x) = x 3 – 3x 2 + 4x – 2. Demuestre analíticamente que f
es creciente y que existe un punto de inflexión en (–1, 3). Use la calculadora para trazar la gráfica de f –1 y
y = x, y observe que las gráficas de f y de f –1 son simétricas respecto a y = x.
x
2
19. (cg) Trate de dibujar la gráfica de y = 3 2 por métodos estándar y luego use la graficadora para obtener
x − 3x
+ 5
información adicional (como la ubicación de toda asíntota vertical).