Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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es un vector tangente a la curva v. Las dos tangentes determinan un plano que es el plano tangente a la superficie
en P (fig. 53.2). Evidentemente, una normal a este plano está dada por r
r
. La normal unitaria a la
u v superficie en P está definida por
∂r
r
n =
∂
× ∂ u ∂v
∂r
r
∂
× ∂ (53.14)
u ∂v
Recta normal
Plano tangente
u = u 0
= 0
CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
Fig. 53.2
Si R es el vector de posición de un punto general sobre la normal a la superficie en P, su ecuación vectorial es
r
r
( R
r)
k
u v
(53.15)
Si R es el vector de posición de un punto general en el plano tangente a la superficie en P, su ecuación vectorial
es
r
r
( R
r)
.
0 (53.16)
u v
(Véase el problema 3.)
El operador
En el capítulo 52, la derivada direccional de z = f(x, y) en un punto arbitrario (x, y) y en una dirección que forma
un ángulo q con el eje x positivo se expresa como
dz f f
cos sen
ds x
y
Se escribe
f
s
f f
s i j
f
co en
x y
x y
. ( i cos j sen ) (53.17)
Ahora a = i cos q + j sen q es un vector unitario cuya dirección forma un ángulo q con el eje x positivo. El
otro factor en el miembro derecho de (53.17), cuando se escribe como i j
x
y
f , indicada la definición
de un operador diferencial vectorial (del), definido por