Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración II: volumen
y
16
12
8
4
O 1 2
x
Fig. 30.5
Método de washer
Supóngase que 0 g(x) ≤ f(x) para a ≤ x b. Considere la región entre x = a y x = b que queda entre y = g(x) y
y = f(x) (fig. 30.6). Entonces, el volumen V del sólido de revolución obtenido al girar esta región sobre el eje x
se obtiene con la fórmula
b
2 2
V ( f( x)) ( g( x))
dx
(Fórmula de washer) *
y
a
y f(x)
a
y g(x)
b
x
Fig. 30.6
2
La justificación es clara. El volumen deseado es la diferencia de dos volúmenes, los volúmenes ( f( x))
dx
a
del sólido de revolución generado al girar en torno al eje x la región que se halla debajo de y = f(x), y el volumen
b
2
( gx ( )) dxdel sólido de revolución producido al girar alrededor del eje x la región que se encuentra debajo
a
de y = g(x).
Una fórmula semejante
2 2
V ( f( y)) ( g( y))
dy
(Fórmula de washer)
c
d
se cumple cuando la región queda entre dos curvas x = f(y) y x = g(y) y entre y = c y y = d, y se gira en torno al
eje y. (Se supone que 0 g(y) f (y) para c y d.)
b
* La palabra washer (arandela) se usa porque cada delgada franja vertical de la región que se gira produce un sólido parecido a
una parte de las cañerías llamada arandela.